Інтерполяційна формула Лагранжа

Нехай на відрізку [a, b] дані (n + 1) різних значень аргументу: x₀, x₁, ..., x_n і відомі відповідні значення виразів

f(x₀) = y₀, f(x₁) = y₁, . . ., f(x_n) = y_n.                         (1).

Необхідно побудувати поліном L_n(x) ступеню не вище n, що має у заданих вузлах x₀, x₁, ..., x_n ті ж значення, що і функція ƒ(х), тобто такі, де L_n(x_i) = y_i, де i = 0, 1, ..., n.

Будемо шукати L_n(x) у вигляді: 

          L_n(x)=l₀(x)+ l₁(x)+...+ l_n(x),                         (6)

де l_i(x) - поліном степеню n, до того ж

                                            (7)

Очевидно, що вимога (7) з урахуванням (6) забезпечує виконання умов інтерполяції.

Так як шуканий поліном l_i(x) звертається в нуль в n точках x₀,., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ..., x_n, то він має вигляд

      l_i(x) = C_i (x - x₀) (x - x₁)⋅.⋅(x - x_i-1) (x - x_{i +1})⋅...⋅(x - x_n)          (8)

де С_i - постійний коефіцієнт. Вважаючи у формулі (8) х = x_i і враховуючи, що l_i(x_i) = y_i,

отримаємо:

y_i = C_i (x_i - x₀)(x_i - x₁)⋅...⋅(x_i - x_{i -1})(x_i - x_{i +1})⋅...⋅(x_i - x_n).

Звідси

.

Зауважимо, що ні один із множників не дорівнює нулю. Підставляючи С_і в (8), а також з урахуванням (6), остаточно маємо:

 (9)

Це і є інтерполяційна формула Лагранжа. Формулі (9) можна надати більш стислий вигляд, використовуючи позначення                                        

                                        (10)

Диференціюючи по х цей добуток, отримаємо:

Вважаючи х = х_i (i = 0, 1, ..., n), отримаємо:

П′_n+1(х_i)= (x_i - x₀)⋅.⋅(x_i - x_{i -1}) (x_i - x_{i +1})⋅...⋅(x_i - x_n).                                (11)

Підставляючи вираз (10) та (11) у формулу (9), отримаємо

Приклад

Припустимо n = 1. Ясно, що ми маємо в цьому випадку дві точки і інтерполяційна формула Лагранжа дає рівняння прямої, що проходить через дві задані точки. Позначивши абсциси цих точок через a і b, отримаємо інтерполяційний поліном у вигляді

Приймаємо n = 2. Тоді отримаємо рівняння параболи, що проходить через три точки. Якщо позначити x₀ = a, x₁ = b, x₂ = c, то таш вираз має вигляд

Приклад

 Нехай задані значення:

 x₀ = 1, x₁ = 3, x₂ = 7, x₃ = 12 и y₀ = 5,6, y₁ = 6,7, y₂ = 8,1, y₃ = 10,3.

Необхідно визначити значення невідомої функції для х = 6,5.

Для заданого випадку, коли ми маємо чотири значення функції, інтерполяційна формула Лагранжа представляється таким чином:

Після підстановки заданих значень у формулу Лагранжа отримаємо:

Приклад

Нехай задана інтерполяційна таблиця:

i	0	1	2	3
	0	2	3	5
	1	3	2	5

Необхідно побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа.

Рішення.

З (8) маємо:

Приклад

Користуючись інтерполяційною формулою Лагранжа, скласти рівняння прямої, що проходить через точки Р₀(х₀, у₀) и Р₁(х₁, у₁), якщо х₀=-1, у₀=-3, х₁=2, у₁=4.

Рішення. У даному випадку многочлен (поліном) Лагранжа прийме вигляд

.

Рівняння шуканої прямої є .