ЗГЛАДЖУВАННЯ ДАНИХ ЕКСПЕРИМЕНТУ

Згладжування даних експерименту є спеціальною операцією усереднення даних за допомогою інтерполяційних поліномів.

Зазвичай експериментальні дані містять випадкові помилки, що є причиною розкиду цих даних. У багатьох випадках буває доцільно провести їхнє згладжування для одержання більш плавного характеру досліджуваної залежності. Існують різні способи згладжування, наприклад засновані на методі найменших квадратів.

Процедура згладжування даних експерименту забезпечує одержання уточненого значення у_уi по визначеному експериментальному значенню у_еi і ряду прилеглих експериментальних значень (..., у_еі-1, у_еi,, у_эi+1, ...), відомих з випадковою погрішністю.

Лінійне згладжування реалізується за допомогою наступних виразів, де N – номер останньої точки, ординати y_еi.

Лінійне згладжування по трьох точках:

y_у0 = (5y_е0 +2y_е1 – y_е2)/6;

y_уi = (y_еi-1 + y_еi + y_еi+1)/3 ,при 1 £ i £ (N-1);

y_уN = (5y_еN + 2y_еN-1 – y_еN-2)/6.

Лінійне згладжування по 5 точках:

y_у0 = (3y_е0 + 2y_е1 + y_е2 – y_е4)/5;

y_у1 = (4y_е0  + 3y_е1 + 2y_е2 + y_е3)/10;

y_уi = (y_еi-2   + y_еi-1 + y_еi + y_еi+1 + y_еi+2)/5,при2 £ i £ (N-2);

y_уN-1 = (y_еN-3 + 2y_еN-2 + 3y_еN-1 + 4y_еN)/10;

y_уN = (3y_еN + 2y_еN-1 + y_еN-2 – y_еN-4)/5.

Лінійне згладжування по 7 точках:

y_у0 = (39y_е0 + 8y_е1 – 4(у_е2 + у_е3 – у_е4)+ y_е5 - 2y_е6)/42;

y_у1 = (8y_е0 + 19y_е1 + 16у_е2 + 6у_е3 - 4у_е4 – 7у_е5 + 4у_е7)/42;

y_у2 = (-4y_е0 + 16y_е1 + 19у_е2 + 12у_е3 + 2у_е4 – 4у_е5 + у_е6)/42;

y_уі = (7y_еі + 6(y_еі+1 + у_еі-1) + 3(у_еі+2 + у_еі-2) – 2(y_еі+3 + y_еі-3))/21,

при 3 £ i £ (N – 3);

y_yN-2 = (y_еN-6 - 4y_еN-5 + 2у_еN-4 + 12у_еN-3 + 19у_еN-2 + 16у_еN-1 - 4у_еN)/42;

y_yN-1 = (4y_еN-6 - 7y_еN-5 - 4у_еN-4 + 6у_еN-3 + 16у_еN-2 + 19у_еN-1 + 8у_еN)/42;

y_yN = (-2y_еN-6 + 4y_еN-5 + у_еN-4 - 4у_еN-3 - 4у_еN-2 + 8у_еN-1 + 39у_еN)/42.

Результати згладжування, зазвичай оформлюються у вигляді таблиць, як показано нижче.

Таблиця 2.2.1 - Значення функцій та їх похибок

До завдання 3

2.3 РЕГРЕСІЙНІ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ МЕТОДИ ОДЕРЖАННЯ  

МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ОБ'ЄКТІВ КЕРУВАННЯ

При обробці експериментальних даних, або якщо при одержанні математичної моделі аналітичні методи визначення параметрів неприйнятні у зв'язку із недостатнім знанням алгоритмів функціонування технологічних об'єктів керування, або через складність й економічну недоцільність розробки моделей на їхній основі, тоді застосовуються експериментальні методи одержання моделей технологічних об'єктів.

Моделі, отримані на основі експерименту, не настільки універсальні, як аналітичні, але більше прості по своїй структурі й дозволяють застосовувати однотипний математичний апарат і досить зручні у користуванні.

Всі експериментальні методи визначення залежностей, трендів, параметрів, ідентифікації і обробки даних базуються на пасивному або активному експерименті.

У першому випадку досліджуються режими природної експлуатації технологічних об'єктів, у другому задаються такі, які щонайкраще виявляють їх властивості.

Під час експерименту виміряються значення технологічних параметрів, що цікавлять дослідника, (вихідні змінні) і факторів, що впливають на них (керуючих вхідних змінних і збурювань). Ці дані дозволяють вибрати математичне вираження й визначити вхідні в нього коефіцієнти, виходячи із забезпечення адекватності моделі об'єкту.

Отримана у такий спосіб модель повинна із заданим ступенем точності відповідати реальному об'єкту, тобто розрахункові й експериментальні значення вихідних змінних при заданих керуючих впливах і збурюваннях повинні збігатися в динамічних і статичних режимах.

Проведення експерименту й наступна обробка його результатів для створення моделі ускладнюються у зв'язку з тим, що технологічні об'єкти керування, як правило, багатомірні й недетерміновані. Тому при проведенні серії повторюваних експериментів при подачі однакових вхідних змінних на виході можна одержувати різні значення однієї й тієї ж технологічної змінної. Таке розходження порозумівається дією випадкових, неврахованих факторів.

Якщо розбіжність незначна, то завдання зводиться до оцінки ступеня наближення моделі до результатів експерименту. При значних відхиленнях під сумнів ставиться правильність вибору типу моделі. У ряді випадків виникає навіть необхідність спочатку встановити сам факт наявності закономірності між вхідними й вихідними величинами. У цьому випадку вирішального значення набуває завдання визначення обсягу експерименту. Під обсягом експерименту розуміють кількість факторів, що враховують, частоту повторення однотипних експериментів й їхню кількість. Чим більше число повторень, тим достовірніше модель, тобто тим більше ймовірність знаходження реального значення змінної в більше вузькому інтервалі експерименту.

Виходячи з викладеного, можна встановити наступні основні етапи одержання моделі технологічного об'єкта керування за експериментальним даними:

планування обсягу експерименту: кількості контрольованих параметрів, числа вимірів і кратності їхнього повторення;

вибір типу математичної моделі (наприклад, рівняння регресії) ;

виконання експерименту й обробка даних;

визначення кількісних характеристик (коефіцієнтів) прийнятого типу моделі;

перевірка значимості отриманих коефіцієнтів та впливу на них розкиду результатів експериментів;

перевірка адекватності моделі об'єкту.

Якщо дві останні перевірки дають негативний результат, то проводиться уточнення обсягу експерименту, експеримент повторюється, уточнюється модель об'єкта.

Далі викладемо деякі принципи визначення параметрів одномірних детермінованих об'єктів у статиці.

У більш широкому обсязі цей матеріал можна проробити у безлічі літератури. Завдання регресійної обробки одномірних детермінованих об'єктів полягає у поданні в аналітичному виді існуючого зв'язку між входом і виходом одномірного об'єкта. Вважаємо, що при експерименті випадкові перешкоди відсутні й у експериментально знятих значеннях немає розкиду. Для таких об'єктів модель найбільше часто описується поліномом виду:

.

Ступінь полінома орієнтовно можна визначити по різницям експериментально знятих ординат функції при постійних збільшеннях аргументу. Вона приймається рівної такому порядку різниць, при якому вони стають приблизно постійними у всьому діапазоні зміни вхідної величини. Наприклад, при незмінних різницях між ординатами модель описується поліномом першого ступеня, при незмінних різницях між різницями другого порядку - поліномом другого ступеня й т.д.

Оптимальної може вважатися така модель, у якої при певних розрахункових коефіцієнтах сума квадратів відхилень розрахункових  й експериментальних  значень буде мінімальної, тобто мінімізується функціонал

,                                                    (1)

де  — число експериментів. Для визначення коефіцієнтів моделі становлять систему рівнянь типу

                                                                      (2)

Спільне рішення отриманих рівнянь відносно дає такі їхні значення, при яких задовольняється умова (1). Для спрощення (2) доцільно початок відліку абсциси  поміщати в середину інтервалу експериментально знятих значень і користуватися симетричними значеннями  (однаковими, але різними по знаках). У цьому випадку всі суми непарних ступенів будуть звертатися в нуль, що істотно спростить систему рівнянь. Наприклад, обрано модель першого ступеня. Лінійний парний регресійний аналіз полягає у визначенні коефіцієнтів лінійної залежності (рівняння прямої лінії): .

Коефіцієнти  й  обчислюються по формулах, отриманим по методу найменших квадратів:

Коефіцієнт парної кореляції , що характеризує ступінь відхилення зв'язку між  й  від лінійної, обчислюють за формулою:

Чим ближче  до одиниці, те ближче вираз до прямої. Знак  визначає знак коефіцієнта .

Обчислення середньоквадратичного відхилення

,

дозволить кількісно оцінювати ступінь наближення точок до прямої.

До завдання 4