Принципи РІШЕННЯ СИСТЕМ НАДЛИШКОВИХ РІВНЯНЬ

Часто в ході ідентифікаційного експерименту безпосередній вимір або обчислення шуканих величин  важкий, або навіть неможливий, а безпосередньо для виміру виявляються тільки деякі вирази (функції), що містять ці величини .

Найпростішим випадком, до якого зводяться багато інших, є такий, коли в процесі виміру одержуємо результати виду:

                                                                     (1)   

тобто для визначення  невідомих  маємо систему з  лінійних рівнянь. Число рівнянь може бути більше числа невідомих, тому що експериментатор, навіть вимірюючи одну величину, не зможе обмежитися лише одним виміром. Причина в тім, що окремі виміри неминуче містять випадкові помилки й, лише на підставі деякої сукупності вимірів, експериментатор зможе зробити більш-менш обґрунтовані висновки. Наприклад, якщо вимірюючи деяку величину п разів, експериментатор одержить у результаті величини то покладається, що досить близьким до точного значення величини є середнє арифметичне:               

                                                                      (2)

У багатьох випадках (але не завжди, що доведено в теорії ймовірностей і перевірено практикою), гіпотеза про достатню близькість значення величини (2) до точного значення вимірюваної величини вірна.

Система (1), у якій число рівнянь більше числа невідомих, називається надлишкової. Вона суперечлива, несумісна. Це означає, що не можна знайти такі значення невідомих, які точно задовольняють всім рівнянням системи. Варто мати на увазі, що коефіцієнти рівнянь, і насамперед вільні члени, звичайно неточні, і тому навіть точне рішення системи (1), навіть якби воно й існувало, не давало б точних значень величин, що цікавлять нас. Можна вибрати з (1) частину рівнянь (т рівнянь), вирішити їх точно, але тоді, майже напевно, підстановка знайдених рішень у частину, що залишилася  рівнянь приведе до зовсім безглуздого результату. Які наближені значення  варто вважати найкращими? Очевидно такі, щоб одночасно, рівноцінної більш-менш точно, задовольнялися всі рівняння системи (1). Ще на початку XIX в. Лежандр запропонував наступний принцип: “З усіх можливих значень невідомих   треба взяти ті, для яких сума квадратів помилок — відхилень лівих частин рівнянь від правих — є найменшою “. Таким чином, потрібно знайти значення х₁, х₂, ... x_m при яких величина

має найменше значення (мінімум).

Принцип Лежандра називається принципом найменших квадратів, а рішення системи (1) на підставі цього принципу називається рішенням за способом найменших квадратів. Природно, виникає питання обґрунтування принципу найменших квадратів. Теоретично доведено й практично перевірено, що в більшості випадків принципу найменших квадратів можна (й потрібно) слідувати. Однак уважати його універсально придатним не можна. Питання обґрунтування принципу найменших квадратів, власне кажучи, ставиться до теорії ймовірностей. Тут розглянемо тільки геометричний зміст принципу найменших квадратів. Нехай дана система рівнянь із трьома невідомими:

                                                                                (3)

Крім того, припустимо, що виконано умови

                                                                         (4)                                                          

Як відомо, кожне лінійне рівняння (3) є рівнянням площини. В аналітичній геометрії досить просто доводиться, що числа

при умовах (4) дорівнюють відстаням точки з декартовими координатами  від площин (3). Отже, відшукати значення із системи (1) при умовах (4) за способом найменших квадратів означає знайти точку, для якої мінімальна середня квадратична відстань її від заданих площин (3).

Тепер доведемо основне твердження для  (для  міркування аналогічні).

Теорема. Для того щоб наближене рішення

було найкращим у змісті принципу найменших квадратів, необхідно й достатньо, щоб   було рішенням системи трьох рівнянь

                                                     (6)

Система (6) називається нормальною системою рівнянь, що відповідає надлишковій системі (5). Треба довести, що величина

приймає найменше значення при тих і тільки тих , які утворюють рішення нормальної системи (6). Легко зрозуміти, що найбільшого значення  мати не може, тому що ця величина нескінченно зростає, наприклад, при . Існування мінімуму  не викликає сумнівів, тому що . Потрібно тільки знайти ті значення аргументів, при яких  досягає мінімуму. Записавши, що

                                   (7)

Розглянемо функцію аргументу :

Ця функція, відповідно до рівності (7), повинна мати мінімум при . Однак легко підрахувати, що

тобто це квадратний тричлен відносно . Як встановлено, квадратний тричлен,  при , має мінімум при . У цьому випадку квадратний тричлен має мінімум при t = 0. Значить,

а це перше з рівнянь (6). Друге із цих рівнянь одержимо, розглянувши

Аналогічно знаходимо й третє з рівнянь (6). Довівши теорему, помітимо, що нормальну систему (6) можна скласти по надлишковій системі (5) у такий спосіб: множачи рівняння (5) відповідно на коефіцієнти при х і складаючи, одержуємо перше рівняння нормальної системи (6); множачи на коефіцієнти при y і складаючи, одержуємо друге рівняння системи (6) і т.д.

Приклад

Вирішити систему рівнянь задану нижче.

Це надлишкова система (невідомих – 2, рівнянь 3), тобто типова система, яка отримується за результатами експериментів.

Множачи рівняння, відповідно, один раз на 2, 1, 3, а другий - на 1, -2, 2 і складаючи результати, одержуємо нормальну систему

рішенням якої є ; .

Приклад

Вирішити систему рівнянь

Це нормальна система

має рішення , , що є точним рішенням вихідної системи.

Виходить, дана система сумісна, а це означає, що одне з рівнянь є наслідком інших (якщо помножити перше рівняння на , друге на  і скласти результати, то вийде третє рівняння).

Приклад

Вирішити систему

Тут третє рівняння явно суперечить другому, але цілком може бути, що, вимірюючи величину , отримано два різко відмінних результати, але немає підстав зволіти один результат іншому. Нормальна система

має рішення , . Підстановка в задану систему показує, що рішення є точним для системи рівнянь

2,5 це середнє арифметичне чисел 2 й 3. 

У загальному виді, якщо перейти від системи рівнянь

до нормальної системи, одержимо

Рішення цієї системи

є точним рішенням системи рівнянь

Приклад

Розглянемо приклад рішення надлишкової системи рівнянь

Множачи рівняння, відповідно, один раз на 2, 1, 3, а другий – на 1, -2, 2 і складаючи результати, одержуємо нормальну систему

, .

Таким чином, одержуємо нормальну систему із двох рівнянь, з якої визначаємо w та І:

,

,

,

.

 рад/с; А.

Отримані результати можна узагальнити для будь-яких експериментальних даних.

Вирази для рішення систем надлишкових рівнянь використаються для рішення практичних завдань обробки експериментальних даних та ідентифікації параметрів, наприклад, при побудові статичних характеристик малообертових дизелів, статичних характеристик електроприводів тощо -  на основі експериментальних досліджень.

Слід зазначити, що існує великий клас об'єктів експериментального дослідження і ідентифікації параметрів, для яких необхідний опис змінними не першого, а більше високого ступеня. Методи рішення надлишкових систем рівнянь не першого ступеня, розглянуті, наприклад, у книзі Дринфельд Г. И., «Интерполирование и способ наименьших квадратов». -К.: ВШ, 1984.

До завдання 2