Основы метода конечных элементов. Матрица жесткости.

Метод конечных элементов (MKЭ) представляет собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Он широко применяется при проектировании судов, летательных аппаратов, несущих систем многоэтажных зданий и т.п. Для МКЭ характерна ясная физическая трактовка. Его можно рассматривать, в частности, как обобщение классического метода строительной механики - метода перемещений. С другой стороны МКЭ является своеобразной формой часто применяемого вариационного метода Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и МКЭ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции (обычно ряды) задаются для всей области, то в МКЭ они задаются для ее частей и через множество этих функций определяется состояние системы. Метод конечных элементов предполагает иной подход. Рассматривается элемент конечных размеров, за счет чего осуществляется переход от сплошной системы с бесконечным числом степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы.

Матрица жесткости конечного элемента представляет собой матрицу коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений относительно обобщенных узловых перемещений. Каждое уравнение этой системы выражает обобщенную реакцию в узловой точке по направлению соответствующего перемещения. В случае совпадения направления осей естественного трехгранника отдельных конечных элементов одноименные узловые реакции элементов складываются, образуя обобщенную реакцию в узле целой конструкции и, следовательно, алгебраическое уравнение разрешающей системы. При несовпадении координатных осей смежных элементов в узле необходимо проектировать реакции на оси глобальной системы координат и полученные уравнения включать уже в окончательную систему.
Описанные выше матричные операции соответствуют учету совместной работы всех элементов, примыкающих к зоне сопряжения составляющих оболочек составной конструкции, и могут быть выражены скалярно уравнениями равновесия сил Л, изгибающих моментов М и крутящих моментов, а также компонентов внешней нагрузки.
Граничные условия и податливость элементов контура. Анализ показал, что при использовании МКЭ можно учесть различные граничные условия, включая как абсолютно жесткие, так и упруго-податливые закрепления. Таким образом, вполне может быть учтена реальная жесткость наложенной связи.
Полученное уравнение дает возможность учитывать реальную жесткость связи. На главную диагональ матрицы жесткости записывают коэффициент, равный сумме жесткостного коэффициента матрицы жесткости целой конструкции и реальной жесткости наложенной связи.
Для имитации абсолютно жесткой связи ее жесткостная характеристика задается на несколько порядков выше, чем порядок коэффициентов матрицы. Для определения реакции наложенной связи достаточно полученное узловое перемещение в направлении связи, взятое с обратным знаком, умножить на ее жесткость.