ПРИМЕНЕНИЙ МАТРИЦ К РАСЧЁТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Обратим внимание на то, что при записи уравнений, описывающих состояние электрических цепей, в матричной форме ветви схемы не должны состоять только из идеальных элементов таких, как: 1) источник тока, внутреннее сопротивление которого принимается бесконечно большим r_в=¥, g_в = = 0; 2) источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого r_в = 0, а соответствующая проводимость g_в = r_в^-1 = ¥; 3) перемычка, сопротивление которой r = 0, а g = ¥.

Поэтому на первом этапе работы со схемой она подвергается эквивалентным преобразованиям:

1) источники тока переключаются параллельно конечным сопротивлениям других ветвей;

2) источники ЭДС ветвей, состоящих только из этих ЭДС, переносятся за узел электрической цепи;

3) узлы, соединённые перемычками, объединяются в единый узел.

После таких преобразований исходной схемы в новой расчётной схеме будут только обобщённые ветви вида рис. 1.57.

На этой схеме: точки «m» и «n» – конечные точки ветви, становящиеся узлами разветвлённой цепи, потенциалы этих точек, соответственно, j_m и j_n; напряжение ветви U = j_m – j_n;  ток обобщённой ветви (в дальнейшем ток ветви) I, положительное направление которого выбирается обязательно совпадающим с положительным направлением напряжения ветви U; I_r –  ток сопротивления ветви; E – ЭДС источника ЭДС ветви; J – ток источника тока ветви; r – сопротивление ветви.

Примечание. Указанные на рис. 1.57 направления I, I_r, E, J приняты за положительные. Если по какой-то причине направления некоторых величин будут противоположными тем, которые указаны на рис. 1.57, при передаче цифровой информации необходимо предусмотреть знак «-» перед числом.

ЗАДАЧА 1.54. Для расчёта электрической цепи рис. 1.58,а с выбранным графом, представленным на рис. 1.58,б, составить уравнения по законам Ома и Кирхгофа в матричной форме.

Параметры приведенной электрической цепи заданы:

E₁ = 80 В,   E₅ = 150 В,   J₂ =3 A,   J₃ =7 A,

r₁ =6 Ом,   r₂ =12 Ом,   r₃ = 15 Ом, r₄ =25 Ом,  r₅ = 30 Ом,   r₆ = 8 Ом.

Решение

В схеме 6 обобщённых ветвей с токами, подлежащими расчёту. Матрица токов ветвей имеет вид [I_в]= [I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆]^T.

В схеме есть 2 тока сопротивлений, отличных от токов обобщённых ветвей. Это токи I_r3 и I_r2.

U₄= j ₄ – j ₃, U₅= j ₂ – j ₄, U₆= j ₃ – j ₁.

Напряжения ветвей, как и токи ветвей, образуют одностолбцовую матрицу с 6 строками [U_в]= [U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, U₆]^T.

Также одностолбцовыми с 6 строками (по количеству ветвей схемы рис. 1.58,а) являются матрицы активных параметров ветвей:

[E_в]= [-E₁, 0, 0, 0, E₅, 0]^T - матрица ЭДС ветвей;

[J_в]= [0, -J₂, J₃, 0, 0, 0]^T - матрица токов источников тока ветвей.

Обращаем внимание, что знаки «минус» в матрицах [E_в] и [J_в] появились в соответствии с рис. 1.57, по законам Кирхгофа для которого получаем  I + J = I_r,

U – I_r×r = -E,

на основании чего получаем две редакции закона Ома для обобщённой ветви:

1) U = (I + J)×r – E; 2) I = (U + E)×g – J, где g = r ^-1 – проводимость ветви.

В матричной форме уравнения, записанные по закону Ома, можно также представить в двух редакциях:

1) [U_в]= [R_в]×{[I_в]+ [J_в]} – [E_в];    2) [I_в]= [G_в]×{[U_в]+ [E_в]} – [J_в],

где фигурируют диагональные матрицы сопротивлений ветвей [R_в] и проводимостей ветвей [G_в], причём [G_в]= [R_в]^-1. Для рассматриваемой схемы

[R_в] = ; [G_в]= ;

где g_q = r_q^-1 – проводимости ветвей.

После выполнения операций перемножения, сложения и вычитания матриц  получаем  развёрнутые системы соотношений соответственно приве-

денным редакциям закона Ома:

1) U₁ = I₁×r₁ + E₁;                 2) I₁ = (U₁ – E₁)×g₁ = (U₁ – E₁)/r₁;

U₂ = I₂×r₂ – J₂×r₂;                  I₂ = U₂×g₂ + J₂ = U₂/r₂ + J₂;

U₃ = I₃×r₃ + J₃×r₃;                  I₃ = U₃×g₃ – J₃ = U₃/r₃ – J₃;

U₄ = I₄×r₄;                             I₄ = U₄×g₄ = U₄/r₄;

U₅ = I₅×r₅ – E₅;                     I₅ = (U₅ + E₅)×g₅ = (U₅ + E₅)/r₅;

U₆ = I₆×r₆;                             I₆ = U₆×g₆ = U₆/r₆.

Составим для рассматриваемой схемы одну из топологических матриц – матрицу соединений [A] (другое название – узловая матрица). Для этого один из узлов схемы принимаем за базисный, в нашем примере пусть это будет узел с наибольшим номером – №4.

При составлении матрицы [A] номера строк соответствуют номерам узлов, номера столбцов – номерам ветвей, причём в порядке возрастания индексов. Если ветвь направлена от узла, то это обстоятельство в матрице [A] отображается +1, если к узлу – в матрице появляется коэффициент -1, если ветвь не соединена с узлом – 0. Таким образом, получаем для схемы

[A] = .

Запишем I закон Кирхгофа в матричной форме [A]×[I_в]= [0].

После выполнения операции умножения матрицы [A] на столбцовую матрицу токов ветвей [I_в]получаем развёрнутую систему уравнений, записанных по I закону Кирхгофа в количестве (У-1) (см. метод уравнений Кирхгофа):   1) -I₁ + I₂ – I₆ = 0;   2) -I₂ – I₃ + I₅ = 0;    3) I₃ – I₄ + I₆ = 0.

Составим для рассматриваемой схемы с учётом графа (рис. 1.58,б) матрицу главных контуров [В], в которой строкам соответствуют ветви связи 2, 3, 6 в порядке возрастания индексов и при этом каждый главный контур обходится в направлении ветвей связи. Получаем

[В] = .

II закон Кирхгофа в матричной форме записывается в виде матричного уравнения [В]×[U_в]= [0]. После раскрытия произведения получаем систему уравнений в развёрнутом виде

4) U₁ + U₂ + U₅ = 0;   5) U₃ + U₄ + U₅ = 0;    6) -U₁ + U₄ + U₆ = 0.

Уравнения 1) – 6) представляют собой систему уравнений Кирхгофа для решаемой задачи.

ЗАДАЧА 1.55. Решить задачу 1.18 с применением матричного метода.

Решение

Используем следующие столбцовые матрицы:

- токи ветвей [I]=[I₂, I₃, I₁, I₄]^T;

- токи источников тока    [J]= [0, 0, 0, -J]^T;

- обобщённые токи ветвей [I_в]=[I]+ [J]= [I₂, I₃, I₁, I₄ – J]^T;

- напряжения ветвей        [U]=[U₂, U₃, U₁, U₄]^T;

- ЭДС ветвей                     [E]= [E₂, 0, E₁, 0]^T;

- обобщённые напряжения ветвей [U_в]= [U]– [E]= [U₂-Е₂, U₃, U₁-Е₁, U₄]^T.

Матрица соединений:[A] = .

Уравнения по первому закону Кирхгофа:

[A]×[I_в]= = 0,

то есть -I₂ + I₃ – I₁ = 0,   (*)

-I₃ + I₄ – J = 0.

Или [A]×[I]= -[A]×[J]:

= - .

Диагональная матрица сопротивлений

[Z]= = .

Получим матрицу главных контуров. Сначала представим матрицу соединений в виде двух подматриц:

[A]= [А₁, A₂], где [A₁]= и  [A₂]= .

Вычислим: [A₁]^-1= ;

-[F]^T= [A₁]^-1´[A₂]= ´ = ; [F]= .

Матрица главных контуров:  [В]=[F,1] = .

Уравнения по второму закону Кирхгофа: [В]´[U_в]= 0,

[В]´[U_в]= ´ =

= = = 0.

Или с учётом [U]= [Z]´[I]= [r₂×I₂, r₃×I₃, r₁×I₁, r₄×I₄]^T

имеем превращение [U_в]= [U]– [Е] = и тогда

[В]´[U_в]= = 0.

Таким образом, получаем уравнения:

-r₂×I₂ + E₂ + r₁×I₁ – E₁ = 0  или r₁×I₁ – r₂×I₂ = E₁ – E₂,   (**)

r₂×I₂ – E₂ + r₃×I₃ + r₄×I₄ = 0           r₂×I₂ + r₃×I₃ + r₄×I₄ = E₂.

Уравнения (*)-(**) образуют систему уравнений Кирхгофа.