МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (МУП)

Этот метод позволяет уменьшить число расчётных уравнений от количества В-В_Т (число ветвей с неизвестными токами) до количества (У-1), то есть до числа уравнений, записанных только по I закону Кирхгофа при использовании метода уравнений Кирхгофа.

В рассматриваемом методе  (МУП)  сначала составляется система урав-

нений для расчёта потенциалов узлов схемы. Так как потенциал электрического тела определяется с точностью до постоянной величины, то потенциал одного из узлов схемы всегда можно принять равным любому числу (лучше всего нулю, так как при этом упрощаются и уравнения и вычисления). Этот узел принято называть базисным и при дальнейших расчётах принято, что j _Б = 0.

Для каждого из узлов схемы с неизвестным потенциалом составляется узловое уравнение. Для узла а, потенциал которого j_а,узловое уравнение имеет вид:

j _а× – j _b× – j _c× – … = + .

Здесь j _b, j _c – потенциалы узлов схемы, часть которых может быть известна, а остальные и не известны;

 – собственная проводимость узла а, сумма проводимостей ветвей, непосредственно примыкающих к узлу а, для которого и записывается узловое уравнение;

 – взаимная проводимость узлов а  и q, сумма проводимостей ветвей, находящихся непосредственно между узлами а  и q (для этих ветвей а  и q – конечные точки);

 – алгебраическая сумма токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, объединённых узлом а, причём слагаемое Eg  берётся со знаком «+», если ЭДС ветви направлена к узлу а;

 – алгебраическая сумма токов источников токов ветвей, объединённых узлом а, причём ток J  берётся со знаком «+», если он направлен к узлу а.

Рекомендуется следующий порядок расчёта токов по МУП:

1. Выбирают произвольные направления токов в ветвях схемы.

2. Выбирают базисный узел и принимают его потенциал равным нулю j_Б = 0.

3. Для узлов с неизвестными потенциалами составляют и решают узловые уравнения.

4. По закону Ома рассчитывают токи ветвей.

5. Проверяют правильность решения задачи (в общем случае по выполнению баланса мощностей).

ЗАДАЧА 1.27. Определить токи в задаче 1.13 МУП.

Решение

В схеме рис. 1.21 имеется всего 2 узла. Примем  j _b = 0. Узловое урав-нение для узла а принимает вид:

j _а× = J + .

Подставив числа, получаем j _а× = 3+ или j _а×3 = 60,

откуда j _а = 20 B.

Токи: I₁ = = = -1 А,

I₂ = = = 4 А.

Проверка правильности решения по закону Кирхгофа: выполняется ли для узла  а J = I₁ + I₂?

3 = -1 + 4. Да, выполняется. Значит, задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.28. Рассчитать токи мостовой схемы задачи 1.15 МУП.

Решение

Примем узел «2» за базисный, положив j ₂= 0.

Для узлов с неизвестными потенциалами j ₁, j ₃, j ₄  составим систему узловых уравнений:

j ₁× – j ₄× – j ₃× = ,

j ₃× – j ₁× – j ₄× = - ,

j ₄× – j ₁× – j ₃× = 0.

Подставим числа   j ₁× – j ₄× – j ₃× = ,

j ₃× – j ₁× – j ₄× = - ,

j ₄× – j ₁× – j ₃× = 0.

Или j ₁×10 – j ₃×6 – j ₄×3 = 2400,

-j ₁×12 + j ₃×19 – j ₄×3 = -4800,

-j ₁×6 – j ₃×3 + j ₄×13 = 0.

Определители: D = = 886; D₁ = = 153600;

D₃ = = -120000; D₄ = = 43200.

Потенциалы узлов: j ₁ = = = 173,4 В,

j ₃ = = = -135,4 В,

j ₄ = = = 48,8 В.

По закону Ома рассчитаем токи в ветвях мостовой схемы:

I₀ = = = 9,12 А,  I₃ = = = 2,89 А,

I₁ = = = 6,23 А,                     I₄ = = = 4,52 А,

I₂ = = = 4,61 А,                    I₅ = = = -1,63 А.

Полученные значения токов совпали с ранее вычисленными по методу уравнений Кирхгофа.

ЗАДАЧА 1.29. Рассчитать токи задачи 1.21 МУП.

Решение

В приведенной задаче есть ветвь №2, сопротивление которой r₂= 0, а проводимость g₂= ¥. Поэтому для узлов «1» и «4», которые являются конеч-ными точками ветви №2, узловые уравнения получаются вырожденными, из которых следует, что j ₄– j ₁= E₂.

Примем потенциал узла «1» j ₁= 0, тогда j ₄= E₂ = 100 B.

Для узлов с неизвестными потенциалами составляем систему узловых уравнений:

j ₂× – j ₃× – j ₄× = J₁ + ,

j ₃× – j ₂× – j ₄× = -  – .

После подстановки чисел и переноса известных величин j ₄×r₃^-1 и j ₄×r₄^-1 в правые части уравнений системы получаем:

j ₂× – j ₃× = 4 + + ,          или j ₂×3 – j ₃×2 = 380,

j ₃× – j ₂× = - – + ,         -j ₂×3 + j ₃×6 = -320,

откуда j ₃ = 15 В, j ₂ = 136,7 В.

Токи ветвей схемы рис. 1.30 рассчитываем по закону Ома:

I₃ = = = 0,917 А,

I₄ = = = -1,417 А,

I₅ = = = 4,5 А,

I₆ = = = 3,085 А,

I₂ = = =  – неопределённость, которая раскры-вается с помощью I закона Кирхгофа, например, для узла «1»:

I₂ = I₅ – I₁ = 4,5 – 4 = 0,5 А.

Полученные значения совпадают с ранее вычисленными по МКТ, поэтому баланс мощности не проверяется.

ЗАДАЧА1.30. Рассчитать токи в схеме рис. 1.33 методом узлового напряжения, если: E₁ = 120 B,  E₂ = 80 B, J₅ = 8 A, r₁= 20 Ом, r₂= 40 Ом, r₃= 25 Ом, r₄= 15 Ом, r₅= 80 Ом. Проверить баланс мощностей.

Решение

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы I₁, I₂, I₃, I_ab, I_dc, напряжения на зажимах источника тока U_k и напряжения U_ad. Заметим, что в рассматриваемой схеме сопротивления проводов на участках ab  и cd  равны нулю - r_ab = r_cd = 0, поэтому при любых токах в перемычках I_ab, I_dc  напряжения на них отсутствуют – U_ab = I_ab×r_ab = U_dc = I_dc×r_cd = 0,  следова-тельно, j _a = j _b, j _d = j _c  и рассматриваемая схема имеет только два различ-ных потенциала, разность которых называется узловым напряжением

U_ad = j _a – j _d,

которое рассчитывается как частный случай узлового уравнения для узла с неизвестным  потенциалом  j _a  при j _d = 0:

U_ad = = = = 40 B.

Токи в ветвях рассчитываются по закону Ома:

I₁ = = = -8 А,

I₂ = = = 1 А,         I₃ = = = 1 А.