Проверка правильности решения задачи по I закону Кирхгофа

I₁ + I₂ + J₅ = I₃ :    -8 + 1 + 8 = 1 - выполняется.

Токи в перемычках рассчитаем по I закону Кирхгофа:

i_ab = I₁ + I₂ = -8 + 1 = -7 A,   i_dc = I₃ – J₅ = 1 – 8 = -7 A.

Для проверки баланса мощностей определим напряжение U_k на зажимах источника тока с помощью II закона Кирхгофа:

U_k + I₃×(r₃ + r₄) + J₅×r₅ = 0, откуда  U_k = -1×(25+15) – 8×80 = - 680 B.

Уравнение баланса мощностей

-E₁×I₁ + E₂×I₂ – U_k×J₅ = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ + I₃²×(r₃ + r₄) + J₅²×r₅  или

-120×(-8) + 80×1 – (-680)×8 = 8²×20 + 1²×40 + 1²×(25+15) + 8²×80

6480 Вт = 1280 + 40 + 40 + 5120 = 6480 Вт.

ЗАДАЧИ 1.31, 1.32, 1.33. Решить задачи 1.17, 1.18, 1.21 МУП.

ЗАДАЧА 1.34. Определить токи в приведенной схеме рис. 1.34 МУП, если  E₁ = 100 B,  E₂ = 50 B,

J = 10 A, r₁= r₂= 20 Ом,  r₃= 10 Ом.

Ответы: I₁ = 7,5 А,  I₂ = 2,5 А,  I₃ = 5 А,

I_E1 = 2,5 А,  I_E2 = 5 А.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Сущность эквивалентных преобразований заключается в том, что часть электрической цепи заменяется более простой схемой: либо с меньшим количеством ветвей и сопротивлений, либо с меньшим числом узлов или контуров. Преобразование считается эквивалентным, если токи и напряжения непреобразованной части схемы остаются прежними, то есть одинаковыми в исходной и преобразованной схемах. Сами по себе эквивалентные преобразования не являются методом расчёта, однако способствуют упрощению расчётов.

Часто используются следующие эквивалентные преобразования:

1. Замена последовательного соединения сопротивлений r₁, r₂, … r_n одним эквивалентным r_Э = .

2. Замена параллельного соединения пассивных ветвей с проводимостями g₁, g₂, … g_n  одной эквивалентной g_Э = .

3. Замена смешанного соеди-нения сопротивлений рис. 1.35,а одним эквивалентным (рис. 1.35,б), где r_Э = r₁+ , что следует из поэтапного применения п.2 и п.1 настоящих рекомендаций.

4. Эквивалентные преобразования пассивных трёхполюсников – треугольника (рис. 1.36,а) и звезды (рис.1.36,б). При этом сопротивления эквивалентного треугольника

r₁₂ = r₁ + r₂ + , r₂₃ = r₂ + r₃ + , r₃₁ = r₃ + r₁ + ,

а сопротивления эквивалентной звезды r₁ = , r₂ = ,  r₃ = ,

5. При дальнейшем изучении курса ТОЭ будут представлены формулы эквивалентных замен пассивных четырёхполюсников Т- и П-схемами, замен цепей с распределёнными параметрами эквивалентными четырёхполюсни-ками, устранение индуктивной связи в цепях и др.

Особенно удобно пользоваться методом эквивалентных преобразований при расчёте входных и взаимных сопротивлений или входных и взаимных проводимостей схем, коэффициентов передачи напряжений и токов, поступающих на вход схемы при передаче сигнала в нагрузку, когда на схему воздействует только один источник энергии.

ЗАДАЧА 1.35. Рассчитать токи мостовой схемы задачи 1.15 (рис. 1.23), используя эквивалентные преобразования.

Решение

Проверяем условие равновесия моста:

r₂×r₃ = 40×60 = 2400; r₁×r₄ = 20×30 = 600.

Так как r₁×r₄¹r₂×r₃, то мост неуравновешен, все его токи отличны от нуля.

Заменим треугольник сопротивлений r₂-r₄-r₅ эквивалентным соединением в звезду, получим схему рис. 1.37, для которой

r_a = = = 9 Ом,

r_b = = = 12 Ом,

r_c = = = 12 Ом.

Входное сопротивление схемы по отношению к зажимам источника ЭДС

r_вх = r +  + r_b =

= 10 + + 12 =

= 43,86 Ом.

Входной ток мостовой схемы

I₀ = = = 9,12 А.

Токи параллельных ветвей схемы рис. 1.37

I₁ = I₀× = 9,12× = 6,23 А,

I₂ = I₀× = 9,12× = 2,89 А.

Напряжение U₄₃ = I₁×r_с + I₀×r_b = 6,23×12 + 9,12×12 = 184,2 А.

Возвращаемся к исходной схеме и рассчитываем токи треугольника сопротивлений: I₂ = = = 4,61 А,

I₄ = I₀ – I₂ = 9,12 – 4,61 = 4,51 А,

I₅ = I₂ – I₁ = 4,61 – 6,23 = -1,62 А.

ЗАДАЧА1.36. Определить токи в схеме рис. 1.38,а, используя эквива-лентные преобразования, если входное напряжение схемы U_вх = 400 В, а пара-метры r₁ = 10 Ом, r₂ = 60 Ом, r₃ = 20 Ом, r₄ = 100 Ом, сопротивление нагруз-ки, подключенной на выходе схемы (выход четырёхполюсника),  r₅ = 50 Ом.

Решение. Вариант 1

Заменим смешанное соединение сопротивлений r₃, r₄, r₅ эквивалентным сопротивлением (рис. 1.38,б) r_ac:

r_ac = r₃ + = 20 + = 53,33 Ом.

Входное сопротивление схемы:

r_вх = r₁ + = 10 + = 38,24 Ом.

Входной ток схемы: I_вх = I₁ = = = 10,46 А.

Напряжение на разветвлении схемы рис. 1.38,б:

U_ad = I₁× = 10,46× = 295,4 B,

а токи   I₂ = = = 4,92 А,    I₃ = = = 5,54 А.  

Напряжение на разветвлении правого участка схемы рис. 1.38,а со смешанным соединением     U_bc = U_вых = I₃× = 5,54× = 184,6 B,

а токи параллельных ветвей I₄ = = = 1,85 А,

I₅ = I_вых = = = 3,69 А.  

Коэффициент передачи напряжения k_U = = = 0,462.

Коэффициент передачи тока k_I = = = 0,353.

Решение. Вариант 2

Схемы с одним источником питания (это имеет место всегда при изуче-нии вопросов, связанных с передачей сигнала со входа схемы в нагрузку) удобно рассчитывать методом пропорциональных величин. При этом задаются произвольным значением тока или напряжения самого удалённого  от  источника  питания  участка  –  в  нашем случае примем ток I₅ = 10 А.

Затем с помощью законов Кирхгофа рассчитывают напряжение на входе (так называемое воздействие), которое на выходе создаёт ток I₅ (так называемая реакция цепи), который равен принятому значению:

U₅ = I₅×r₅ = 10×50 = 500 B,

I₄ = = = 5 A, I₃ = I₅ + I₄ = 10 + 5 = 15 A,

U_ad = I₃×r₃ + I₅×r₅ = 15×20 + 500 = 800 B,

I₂ = = = 13,33 A, I₁ = I₂ + I₃ = 13,33 + 15 = 28,33 A,

U_вх = I₁×r₁ + U_ad = 28,33×10 + 800 = 1083 B.

Находят коэффициент пропорциональности   k = = = 0,369,  на

который необходимо умножить все ранее полученные выражения, чтобы получить искомые значения при заданном напряжении U_вх = 400 В.

Получаем  I₁ = I₁×k = 28,33×0,369 = 10,46 А,

I₂ = I₂×k = 13,33×0,369 = 4,92 А,     I₃ = I₃×k = 15×0,369 = 5,54 А,

I₄ = I₄×k = 5×0,369 = 1,85 А,            I₅ = I₅×k = 10×0,369 = 3,69 А,

U_ad = U_ad×k = 800×0,369 = 295,4 B, U₅= U_вых = U₅×k = 500×0,369 = 185 B,

 что совпадает с решением по варианту 1.

ЗАДАЧА 1.37. Рассчитать токи в условиях задачи 1.22 (рис. 1.30) с помощью  эквивалентных преобразований, заменив сопротивления звезды  r₃-r₄-r₅ эквива-лентным соединением в треугольник.

ЗАДАЧА 1.38.  Определить  токи  в  ветвях  схемы, приведенной на рис. 1.39, заменив     треугольник    сопротивлений r_ab-r_bc-r_ca  эквивалентной звездой, если:  E_A = 50 В, E_B = 30 В,  E_C = 100 В,

r_A = 3,5 Ом,   r_B = 2 Ом,  r_C = 7 Ом,    r_ab = 6 Ом,   r_bc = 12 Ом,   r_ca = 6 Ом.

Ответы: I_A = -0,4 A,   I_B = -4,4 A,  I_C = 4,8 A,

I_ab = 2,1 A, I_bc = -2,3 A, I_ca = 2,5 A.

ЗАДАЧА 1.39. Рассчитать токи в схеме рис. 1.40 методом преобразования электрической цепи, проверить БМ, если:  r₁ = r₂ = 6 Ом,

r₃ = 3 Ом,   r₄ = 12 Ом, r₅ = 4 Ом,   j = 6 А.

Ответы: I₁ = 1 A, I₂ = 1 A, I₃ = 2 A,

I₄ = 1 A, I₅ = 3 A.

ЗАДАЧА 1.40. Решить задачу 1.19 с помощью эквивалентных преобразований цепи.

ЗАДАЧА 1.41. В цепи рис. 1.41  j = 50 мА, E = 60 В,    r₁ = 5 кОм,    r₂ = 4 кОм,    r₃ = 16 кОм, r₄ = 2 кОм,  r₅ = 8 кОм.   Вычислить ток ветви с сопротивлением r₅, пользуясь преобразованием схем с источниками тока в эквивалентные схемы с источниками ЭДС и наоборот.

Решение. Вариант 1

Перерисуем схему рис. 1.41 в виде рис. 1.42,а. Эквивалентность исходной и новой схем очевидна: к соответствующим узлам обеих схем подходят одинаковые токи. В частности, результирующий ток, подводимый к узлу а, равен нулю. Преобразуем источники тока j последней схемы в источники с ЭДС Е₁ и Е₃ (рис. 1.42,б):

Е₁ = jr₁ = 50·10 ^-3·5·10 ³ = 250 В;

Е₃ = jr₃ = 50·10 ^-3·16·10 ³ = 800 В.

Складывая соответствующие элементы ветвей, приводим рис. 1.42,б к виду рис. 1.42,в, для которого Е₆ = Е – Е₁ = 60 – 250 = -190 В;

r₆ = r₁ + r₂ = 9 кОм; r₇ = r₃ + r₄ = 18 кОм.

Преобразуем схему рис. 1.42,в в схему с источниками тока рис. 1.42,г:

j₆ = = - = -21,2 мА;  j₇ = = = 44,4 мА.

Сложив параллельные элементы, получим схему рис. 1.42,д:

j_ЭКВ = j₆ + j₇ = -21,1 + 44,4 = 22,3 мА;  r_ЭКВ = = = 6 кОм.

 I₅ = j_ЭКВ· = 23,3· = 10 мА.

Решение. Вариант 2

Определим ток j_ЭКВ эквивалентного источника тока, который равен току I_K при замыкании накоротко сопротивления r₅ (рис. 1.42,г). Ток I_K можно вычислить различными способами, например, методом контурных токов: (r₁ + r₂)·I_I – r₁·j = -Е;

(r₃ + r₄)·I_II – r₃·j = 0.

Подставляя числовые значения и решая эти уравнения, найдём:

I_I = 21,1 мА; I_II = 44,4 мА; j_ЭКВ = I_II – I_I = 23,3 мА.

Затем рассчитаем внутреннюю проводимость g_ЭКВ источника тока. Она равна проводимости пассивной цепи между зажимами а и b при разомкнутой ветви с r₅ (рис. 1.42,ж); ветвь, содержащая источник тока, показана разомкнутой, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико:

g_ЭКВ = + =  См; r _ЭКВ = = 6 кОм.

На рис. 1.42,д приведена схема эквивалентного источника тока относительно зажимов а и b. Из неё находим искомый ток

I₅ = j_ЭКВ· = 23,3· = 10 мА.

Решение. Вариант 3

Преобразуем треугольник сопротивлений r₃r₄r₅ в эквивалентную звезду (рис. 1.42,з). Её сопротивления равны:

r_а = =  кОм; r_b =  кОм; r_d =  кОм.

Полученная схема содержит всего два узла О и с. Узловое напряжение в соответствии с методом двух узлов (см. задачу 1.30):

U_cO = = = 198 B.

Обращаем внимание на то, что в знаменателе последнего выражения отсутствует слагаемое, учитывающее сопротивление r_d. Это связано с тем, что сопротивление источника тока бесконечно велико и прибавление к нему конечного сопротивления r_d не изменило бы бесконечно большое сопротивление ветви источника тока. По закону Ома найдём токи

I¢ = = = 20 мА; I¢¢ = = = 30 мА

и напряжение между точками а и b U_аb = I¢r_а – I¢¢r_b = (20·64 – 30·8)/13 = 80 B.

Наконец, определяем искомый ток I₅ = = = 10 мА.