МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ)

Этот метод позволяет уменьшить число расчётных уравнений в системе уравнений Кирхгофа (N = N_I + N_II) до числа уравнений, записанных только по II закону Кирхгофа (до числа главных (независимых) контуров схемы).

Рекомендуемый порядок расчёта:

1). Составляется направленный граф электрической цепи и формируются независимые контуры. При этом ветви с известными токами (ветви с источниками тока) не могут быть ветвями дерева, а лишь ветвями связи.

2). Полагают, что в независимых контурах циркулируют контурные токи, направление которых совпадает с направлением токов ветвей связи. При этом часть контурных токов становятся известными в соответствии с п.1 данных рекомендаций.

3). Для контуров с неизвестными контурными токами составляются контурные уравнения по II закону Кирхгофа. Таким образом, количество уравнений по МКТ следующее:  N_МКТ = В – (У-1) – В_Т.

4). Решается система контурных уравнений.

5). Токи в ветвях определяют путём алгебраического суммирования контурных токов в соответствии с принципом наложения.

6). Проверка выполняется составлением баланса мощностей или расчётом токов иным методом.

ЗАДАЧА 1.20. Для схемы рис. 1.16 известны:  E₁ = 120 B,  E₄ = 80 B, E₅ = 6 B,  r₁= r₃= r₅= 2 Ом,  r₂= r₄= 6 Ом,  r₆= 3 Ом,  а также измеренный ток  I₄ = 8 A.   Найти остальные токи методом контурных токов (МКТ) и проверить баланс мощностей.

Решение

Для наглядности расчётов представим граф (рис. 1.28) рассчитываемой схемы рис. 1.16, приняв ветвь №4 с известным током за ветвь связи. Контурный ток контура iIi, таким образом, становится известным: I_iIi = I₄ = 8 A.

Неизвестные контурные токи i_I=i₁, i_II=i₅.

Контурные уравнения для контуров:

I₁×(r₁ + r₂) – I₅×r₂ = E₁,

I₅×(r₅ + r₃ + r₆ + r₂) – I₁×r₂ + I₄×r₃ = -E₅.

После подстановки чисел и переноса слагаемого I₄×r₃ = 8×2 = 16 B  в правую часть второго контурного уравнения система уравнений приобретает вид:

8×I₁ – 6×I₅ = 120,   

-6×I₁ + 13×I₅ = -22,

откуда 8,5×I₅ = 68; I₅ = 8 A; I₁ = 21 A.

I₂ = I₁ – I₅ = 21 – 8 = 13 A; I₆ = I₅ = 8 A; I₃ = I₅ + I₄ = 8 + 8 = 16 A.      

Уравнение баланса мощностей

E₁×I₁ – E₅×I₅ + E₄×I₄ = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ + I₃²×r₃ + I₄²×r₄ + I₅²×r₅ + I₆²×r₆,

120×21 – 6×8 + 80×8 = 21²×2 + 13²×6 + 16²×2 + 8²×6 + 8²×2 + 8²×3,

3112 Вт = 3112 Вт.

Баланс мощностей сошёлся, задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.21. Параметры схемы рис. 1.29,а заданы:

J₁ = 4 A,  E₁ = 160 B,  E₂ = 100 B,   E₅ = 12 B,  E₆ = 60 B,

Рассчитать токи МКТ.

Решение

Произвольно выбранные направления токов в ветвях схемы указаны на рис. 1.29,а (по постановке задачи 1.21 этих направлений нет). Обращаем внимание на наличие в схеме двух идеальных (особых) ветвей.

Первая содержит источник тока J₁, который не зависит от параметров цепи E₁, E₂, r₁, r₃, E₅, E₆ и т.д. Для нормальной работы источника тока требуется единственное: наличие пути для замыкания тока при любых преобразованиях схемы или её изменениях путём отключения части ветвей или подключения новых ветвей.

Сопротивление первой ветви r_в1= r₁+ r_ИТ = 50 + ¥ = ¥, , где r_ИТ = ¥ - теоретическое значение внутреннего сопротивления идеализированного источника энергии, называемого источником тока,

проводимость этой ветви             g_в1= = = 0.

Вторая ветвь схемы содержит только идеализированный источник ЭДС с внутренним сопротивлением r_ЭДС = 0, поэтому сопротивление второй ветви r_в2= 0, а проводимость   g_в2= = ¥.

Ранее было сказано, что ветвь с источником тока обязательно должна быть ветвью связи, что учтено при составлении графа схемы рис. 1.29,б.

Так как при использовании МКТ в контурных уравнениях появляются слагаемые ±I×r, где r – сопротивления общей между контурами ветви, то имеет практический смысл включить ветвь только с идеальным источником ЭДС в число ветвей дерева, когда произведение I×r = 0, так как r = 0. Это также учтено при составлении графа схемы.

Таким образом, для приведенной схемы получено 3 контурных тока, один  из которых замыкается по ветвям   1-6-5   и равен току источника тока I_I= J₁ = 4 A.

Второй контурный ток I_II= I₃ замыкается по ветвям 3-2-5-6 и неизвес-тен. Третий контурный ток I_III= I₄, замыкающийся по ветвям 4-2-5, также неизвестен.

Контурные уравнения для неизвестных контурных токов (с учётом r₂=0)

I_II×(r₃ + r₅ + r₆ ) + I_III×r₅ – J₁×(r₆ + r₅ ) = -E₂ – E₅ + E₆,

I_III×(r₄ + r₅) + I_II×r₅ – J₁×r₅ = -E₂ – E₅.

С числовыми значениями:

90×I_II + 30×I_III = 40,

30×I_II + 90×I_III = -100, откуда 240×I_II = 220, I_II = 0,917 A, I_III = -1,417 A.

Токи ветвей схемы

I₃ = I_II = 0,917 A, I₄ = I_III = -1,417 A, I₂ = -I_II – I_III = -0,917 + 1,417 = 0,5 A,

I₅ = -I_II – I_III + I_I= -0,917 + 1,417 + 4 = 4,5 A,

I₆ = I_I– I_III = 4 – 0,917 = 3,083 A.

Напряжение на зажимах источника тока найдём с помощью II закона Кирхгофа для контура с ветвями 1-3-2:

U_k – I₃×r₃ – I₁×r₁ = E₁ + E₂,

откуда U_k = E₁ + E₂ + I₁×r₁ + I₃×r₃ = 160 + 100 + 4×50 + 0,917×40 = 496,7 B.

Уравнение баланса мощностей:

U_k×J₁ – E₁×I₁ + E₂×I₂ + E₅×I₅ – E₆×I₆ = I₁²×r₁ + I₃²×r₃ + I₄²×r₄ + I₅²×r₅ + I₆²×r₆.

Суммарная мощность источников питания (генераторов)

S P_Г = 496,7×4 – 160×4 + 100×0,5 + 120×4,5 – 60×3,083 = 1752 Вт.

Суммарная мощность потребителей

S P_П = 4²×50 + 0,917²×40 + 1,417²×60 + 4,5²×30 + 3,083²×20 = 1798 Вт.

Среднее значение мощностей

S P_СР = = = 1755 Вт.

Отклонение (абсолютная погрешность)

DР = |S P_Г – S P_СР| = |S P_П – S P_СР| = 1798 – 1755 = 23 Вт.

Относительная погрешность вычислений

e % = ×100 = = 1,31%,

что значительно меньше допустимых 3%. Следовательно, задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.22. Методом контурных токов рассчитать состояние мостовой схемы рис. 1.30, питаемой от источника тока J = 80 мА, если

r₁= 2 кОм,    r₂= 4 кОм,   r₃= 8 кОм,   r₄= 6 кОм,   r₅= 3 кОм.

Проверить баланс мощностей.

Ответы:  I₁ = 61 мА,  I₂ = 51 мА,  I₃ = 19 мА,  I₄ = 29 мА,

I₅ = 10 мА,  SP = 26,08 Bт.

ЗАДАЧА 1.23. Параметры схемы рис. 1.31 известны: J = 5 A, E₁ = 30 B, E₂ = 70 B, E₃ = 10 B,  E₄ = 20 B; r₁= 10, r₂= 10, r₄= 5, r₅= 15, r₆= 5, r₇= 20. Все сопротивления заданы в Ом. Методом контурных токов рассчитать токи в схеме и проверить баланс мощностей.

Ответы:  I₁ = 1 А,  I₂ = 4 А,  I₃ = 3 А,  I₄ = 4 А,  I₅ = 2 А;  I₆ = 2 А,

I₇ = 3 А,  SP = 510 Bт.

ЗАДАЧИ 1.24 и 1.25. Решить задачи 1.17 и 1.18 МКТ.

ЗАДАЧА 1.26. МКТ определить все токи в схеме рис. 1.32, если  E = 100 B,   J₁ = J₂ = 2 A,

r₁= r₃= 10 Ом,  r₂= r₄= 40 Ом.

Ответы:  I₁ = 1 А,  I₂ = 3 А,  I₃ = 1 А,  I₄ = 1 А.