Вычисление абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Напомним теорему сложения скоростей при сложном движении точки:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей: 

Теорема сложения ускорений при сложном движении точки имеет вид:

                                                      ,                                                

где вектор

называется ускорением Кориолиса.

Таким образом,

абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Пример 3.3

Круглая трубка радиуса  вращается вокруг горизонтальной оси  по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью . Внутри трубки около ее точки  колеблется шарик , причем так, что  (Рис. 3.5). Определить скорость, касательное и нормальное ускорения в абсолютном движении шарика в любой момент времени.

Рис.3.5

Относительное движение шарика представляет собой движение по окружности радиуса  с центром в точке  по закону . Определим закон изменения дуговой координаты шарика в относительном движении:

Вычислим относительную скорость и относительное ускорение шарика:

Трубка сообщает шарику переносную скорость

и переносное ускорение

Угол между осью вращения трубки, вдоль которой направлен вектор ее угловой скорости, и вектором относительной скорости шарика равен , так что

Для определения направления ускорения Кориолиса удобнее всего воспользоваться правилом Жуковского.

Абсолютная траектория шарика в данном случае очевидна – это все та же окружность с центром  радиуса . Используя теорему сложения скоростей, получаем:

Используя теорему Кориолиса (3.12), получаем:

Направления векторов указаны на Рис. 3.5. Ускорение Кориолиса и относительная скорость представлены на рисунке для случая

Пример 3.4

Лопатка  рабочего колеса турбины, вращающегося против хода часовой стрелки замедленно с угловым ускорением , имеет радиус кривизны 0.2 м и центр кривизны в точке , причем  м. Частица воды , отстоящая от оси  турбины на расстоянии 0.2 м, движется по лопатке наружу и имеет скорость 0.25 м/с и касательное ускорение 0.5 м  по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы  в тот момент времени, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.

Подвижную систему координат свяжем с рабочим колесом турбины (Рис. 3.6). Относительной траекторией частицы воды является кривая  – лопатка турбины. Определим нормальное ускорение точки  в относительном движении

Точка  турбины описывает окружность с центром  радиуса . Определим переносное ускорение точки:

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Модуль ускорения Кориолиса равен

Используя теорему Кориолиса, найдем проекции абсолютного ускорения частицы  на оси подвижной системы координат (Рис. 3.6):

Рис. 3.6		Рис. 3.7

Остается определить  и . Для этого используем теорему косинусов (Рис. 3.7):

Отсюда

Таким образом,

Окончательно получаем:

Пример 3.5

Диск радиуса  вращается вокруг неподвижной оси  с постоянной угловой скоростью . По ободу диска движется точка , имея относительно диска постоянную по модулю скорость . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки .

Подвижную систему отсчета связываем с диском (Рис. 3.8). По отношению к диску, т.е. в относительном движении, точка  движется равномерно со скоростью , описывая окружность радиуса  с центром в точке . Определяем относительное ускорение точки:

Рассмотрим переносное движение – его совершает диск. Точка  диска описывает окружность с центром , плоскость которой параллельна координатной плоскости . Переносная скорость

направлена по касательной к этой окружности в сторону вращения диска, т.е. перпендикулярно плоскости диска в отрицательном направлении координатной оси . Поскольку вращение диска по условию равномерное, отличным от нуля оказывается только осестремительное ускорение:

Вектор ускорения Кориолиса точки   направлен перпендикулярно плоскости чертежа, в которой расположены векторы  и , причем, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение направления вектора  с направлением вектора  видно против хода часовой стрелки. В указанном на Рис. 3.9 положении точки  вектор ускорения Кориолиса направлен на нас, т.е. параллелен координатной оси   в положительную сторону этой оси. На Рис. 3.9 это направление условно обозначено острием стрелки, заключенным в кружок. Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по формуле:

                                                         .

Рис.3.8			Рис.3.9

При перемещении точки  по диску направление ускорения Кориолиса не будет изменяться до тех пор, пока , т.е. пока  (точка ). При пересечении точкой  координатной оси  ускорение Кориолиса обращается в нуль. При движении точки в нижней части диска, т.е. при , проекция ускорения Кориолиса на направление оси  становится отрицательной и вектор  направлен от нас (точки  и ).

Таким образом,

Используя теорему сложения скоростей

находим проекции вектора абсолютной скорости на оси подвижной системы координат:

Используя теорему Кориолиса

находим проекции абсолютного ускорения точки на оси подвижной системы координат:

Примечание.

Последняя задача позволяет проиллюстрировать некоторые явления, связанные с вращением Земли, в частности, размыв берегов рек. Как видно, вращение Земли приводит к возникновению у частиц воды кориолисова ускорения, направленного перпендикулярно линии берегов. Наличие такого ускорения приводит к тому, что в северном полушарии дополнительно подмывается правый берег, который на прямолинейных участках рек заметно выше левого берега. В южном полушарии более высокий левый берег. Это явление в географии отражено в законе Бэра.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 22.10; 22.14; 22.17; 22.26; 23.1; 23.9; 23.13; 23.18; 23.19; 23.27; 23.29; 23.34; 23.47; 23.48; 23.49; 23.56.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-23;

СР-24; СР-25.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ:

1. После практического занятия №7(15) проводится тест «МОДУЛЬ КБ».

ЛИТЕРАТУРА: