П.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій

Література:

1.М.І.Шкіль. Алгебра і початки аналізу 10-11кл.

2. Нелін Є. П.Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів.— 2-ге вид., виправ. і доп. — Х.: Світ дитинства

3. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

4. О.С.Істер Алгебра 10 клас Дидактичні матеріали

Методичні вказівки:

Точки, у яких при побудові графіка відриваємо олівець від паперу, називають точками розриву, а функцію – розривною в цій точці.

1) Многочлен у = а₀ + а₁х + а₂х² +... + а_nxⁿ – неперервна функ­ція в будь-якій точці.

2) Дробово-раціональна функція  неперервна в усіх точках числової осі, крім тих точок, у яких знаменник дорівнює нулю.

Крім того, слід зазначити, що вивчені нами функції

3) у = ,  у = |х| є та­кож неперервними в усіх точках області визначення.

Студенти повинні вміти:

Доводити неперервність числових функцій, з’ясовувати типи розривів функцій

Питання для самоконтролю:

1. Яка функція називається неперервною?

2. Розриви функцій яких видів ви знаєте?

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Неперервність функцій.

2. Типи розривів числових функцій

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2. Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

1.Неперервність функцій.

Розгляньте графіки функцій, зображених на рис. 1.

Рис. 1

Які із цих графіків можна накреслити, не відриваючи олівця від аркуша паперу?

Точки, у яких при побудові графіка відриваємо олівець від паперу, називають точками розриву, а функцію – розривною в цій точці.

На рис. 1 розривними функціями є функції f₂, f₃, f₄, які мають розрив в точці х = 1.

В усіх останніх точках області визначення функцій f₂, f₃, f₄ ці функції не мають розриву. Отже, в інших точках функції f₂, f₃, f₄ неперервні, функція f₁ неперервна в кожній точці. Якщо функція у=f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку, то її називають неперервною на даному проміжку. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) є неперервними в точ­ці х , то в цій точці будуть неперервними й функції у = f(x) ± g(x) та у = f(x) – g(x).

Теорема 2. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) є неперервними в точці х_о і , то в точці х_о, буде неперервною також і функція .

Висновок:

4) Многочлен у = а₀ + а₁х + а₂х² +... + а_nxⁿ – неперервна функ­ція в будь-якій точці .

5) Дробово-раціональна функція  неперервна в усіх точках числової осі, крім тих точок, у яких знаменник дорівнює нулю.

Крім того, слід зазначити, що вивчені нами функції

у = ,  у = |х| є та­кож неперервними в усіх точках області визначення.

Приклад 1. Які із функцій, графіки яких зображено на рисунку 3, не­перервні, а які розривні в точці О?

Рис 3

Відповідь: неперервна функція зображена на рис. а; останні функції розривні в точці О.

Приклад 2. Укажіть проміжки неперервності функцій f і g, зображених на рис 4

Відповідь: функція у = f(x) неперервна на проміжках (- ;0), (0; 1), (1;+ ),

функція у = g(x) неперервна на проміжках (- ; 1), (1; + ).

Приклад 3. Побудуйте графік функції у = f(x). Чи міститься в області ви­значення функції точка, в якій функція не є неперервною?

Відповідь: а) Рис. 5, а, функція розривна в точці х = -1;

б) Рис. 5, б, функція неперервна для х  R;

в) Рис. 5, е, функція розривна в точці х = 1;

г) Рис.5, г, функція неперервна для х  R.