Свойства полного тензора градиентометрии и градиентов силы тяжести

1.Лапласиан для точек жестко связанных с Землей тензора (2.32) имеет вид

(2.35)

(2.36)

Это означает, что сумма диагональных элементов тензора равна удвоенной угловой скорости Земли. Для внешних точек не связанных с вращением Земли (градиенты, измеренные на самолете или спутнике) это означает, что сумма диагональных элементов тензора градиентов силы притяжения во внешнем пространстве равна нулю.

2. Потенциал силы тяжести (и притяжения) является безвихревым полем, поэтому

,

то есть

Соотношения (2.35) – (2.37) дают четыре зависимости между элементами полного тензора градиентометрии, поэтому только пять элементов тензора (2.32) являются линейно независимыми.

3. Последняя строка полного тензора силы тяжести есть градиенты от вертикальной составляющей ускорения силы тяжести. В самом деле , а

(2.38)

4. Вектор, составленный из составляющих W_xz, W_yx получил название вектора горизонтального градиента силы тяжести. Этот вектор лежит в плоскости горизонта, а модуль этого вектора равен

. (2.39)

Азимут горизонтального градиента имеет вид

. (2.40)

Направление вектора совпадает с направлением максимального изменения градиента силы тяжести в плоскости горизонта. Он также определяет кривизну отвесной (силовой) линии в пункте, определяющем начало локальной системы координат. Важное значение при редуцировании и интерпретации гравиметрических и градиентометрических измерений имеет вертикальная составляющая.

Для внешней задачи вертикальная составляющая пробной массы, жестко связанная с вращающейся Землей, будет

(2.41)

или для массы не связанной с Землей

(2.42)

Выражение (2.42) содержит среднюю гауссову кривизну

(2.43)

и позволяет найти полную кривизну

. (2.44)

Обратимся теперь к полному тензору градиентометрии (2.32). Величины, которые являются кривизнами уровенной поверхности: k₁ – в плоскости меридиана, а k₂ – в плоскости первого вертикала, выражены, как

Далее, величины, которые являются кривизнами отвесных (силовых) линий: f₁ – в плоскости меридиана, а f₂ – в плоскости первого вертикала, равны:

О совместной интерпретации этих элементов тензора градиентометрии указано ранее в (2.33). Наконец значение, которое характеризует степень кручения отвесной (силовой) линии вокруг самой себя в плоскости параллельной экватору, выражается как:

(2.47)