Шаровые и сферические функции и определение их коэффициентов

Решение уравнения Лапласа получают в виде

. (2.17)

Функция , получившая название шаровой функции n–ой степени, представляет собой однородный многочлен степени n, удовлетворяющий уравнению Лапласа.

Применим оператор Лапласа к (2.17).Получим следующее выражение

. (2.18)

Лапласиан от потенциала во внешнем пространстве равен нулю, но в этом случае каждый из членов S₁, S₂, S₃,…S_n в свою очередь представляют собой многочлены и выполнение условия (2.18) возможно тогда и только тогда, когда каждый член суммы S_n порознь равны нулю, т.е.

. (2.19)

В сферических координатах r, j и l произвольная шаровая функция имеет вид

где получила название сферической функции (или «игреки Лапласа»). Явный вид сферической функций имеет вид

, (2.21)

где

Здесь j’ и l’ – координаты на сфере единичного радиуса, dt элемент поверхности t–сферы единичного радиуса.