Градиенты и их использование при определении силы тяжести

В теории потенциала под градиентами понимают первые производные от вектора ускорения силы тяжести или повторное применение градиента к градиенту потенциала силы тяжести .Таким образом, используя правила применения оператора Ñ в тензорном исчислении мы имеем

где Выражение (2.32) есть полный тензор градиентометрии или тензор Этвёша. Если мы умеем измерять все девять компонентов тензора (2.32), а с другой стороны, мы знаем явное выражение для потенциала в виде разложения в ряд по шаровым функциям (2.17) и полагаем, что центробежный потенциал Земли нам известен и известна некоторая приближенная модель гравитационного поля Земли коэффициентами c⁰_nm, s⁰_nm, то, разлагая (2.32) в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами, мы получим девять систем блочных линейных уравнений вида

(2.33)

где ,а

Используя различные приемы и методы обработки измеренных величин, уточняют модель гравитационного поля Земли, определяя поправки к модели в виде поправок Dc_nm, Ds_nm. Мы привели классический метод получения уравнения поправок, при этом уравнения (2.33) не являются строгими. Но функция W от стоксовых постоянных c_nm и s_nm зависит линейным образом, что видно из выражения (2.21).Поэтому уравнения поправок можно получить совершенно строго, не разлагая (2.32) в ряд Тейлора, а просто, подставив в (2.32) величины c_nm=c⁰_nm+D c_nm и s_nm=s⁰_nm+Ds_nm и, выполнив соответствующие преобразования, найти строгие уравнения поправок. При этом A^ij₀ получают при c_nm=1, а s_nm=0, а B^ij₀ – при c_nm=0, s_nm=1. Напрямую составлять и решать уравнение поправок по способу наименьших квадратов в рассматриваемом случае представляет собой необычайно громоздкую и трудоёмкую задачу. На практике используют различные альтернативные методы с целью упрощения задачи – усреднения по трассам, площадям и т.д. и т.п.