Нормирование сферических функций

В выражении (2.21) P_nm(sinj) получили название присоединенных функций Лежандра и они следующим образом выражаются через стандартные полиномы Лежандра

Если второй индекс m=0, то c_m=1, а если m¹0, то c_m=2. В зависимости от выражения h_nm различают три вида присоединенных функций (и полиномов) Лежандра:

1. стандартные (обычные) полиномы, для которых

2. нормированные, для которых

h_nm = 1, (2.26)

3. полностью нормированные, для которых

Как правило, в теории обычно используются стандартные полиномы Лежандра.

В практических работах по определению c_nm, s_nm или их исследованию используют нормированные или полностью нормированные присоединенные функции Лежандра, а соответственно и коэффициенты нормированные, для чего сами коэффициенты должны быть разделены на

то есть

и полностью нормированные делят на

(2.30)

то есть

В этом случае и сферические функции будут обозначаться – нормированные , и полностью нормированные .

Как следует из выражения для потенциала силы тяжести (2.17), (2.20) и (2.21),если нам будут известны все значения стоксовых постоянных c_nm и s_nm, то функция потенциала силы притяжения U будет полностью определена. На практике такое невозможно, так как стоксовых постоянных бесконечное множество, но знание определенного количества стоксовых постоянных с определенной точностью позволяет представлять потенциал притяжения с такой же точностью и в глобальном масштабе, т.е. для всей Земли. Реализация этой задачи была впервые осуществлена в рамках общей динамической задачи космической геодезии. Этот метод определения коэффициентов c_nm и s_nm относится к абсолютным методам, так как стоксовы постоянные c_nm и s_nm непосредственно связаны с возмущениями в элементах орбиты ИСЗ. При этом, разные по индексам n и m гармоники вызывают разные по характеру возмущения и в разных элементах орбиты.

Например,

– четные зональные гармоники R_2n,0 (коэффициенты c_2n,0 )вызывают в трех элементах (долготе восходящего узла W, аргументе перицентра w и в любой из аномалий v, Е или М) вековые возмущения, в пяти элементах (во всех кроме большой полуоси а ) – долгопериодические возмущения с периодами в 1–2 года и во всех без исключения короткопериодические возмущения с периодами кратными периоду обращения ИСЗ,

– нечетные зональные гармоники R_2n+1,0 (коэффициенты c_2n+1,0) вызывают долгопериодические возмущения в тех же элементах, что и четные, но в 1/e раз больше по периоду и амплитуде (е – эксцентриситет орбиты и для ИСЗ всегда значительно меньше 1)

– секториальные (n = m) и тессеральные (n ¹ m) гармоники геопотенциала вызывают только короткопериодические возмущения и во всех элементах.

Получая возмущения в элементах орбиты ИСЗ из наблюдений и имея некоторую приближенную модель потенциала Земли M₀(c⁰_nm, s⁰_nm), находят по возмущениям в элементах орбиты поправки к существующей модели DM(Dc_nm, Ds_nm). Решением этой проблемы занимались крупные национальные и международные научные центры: Смитсонианская астрофизическая обсерватория (SE–I–IV, стандартная Земля I–IV), Годдардовский центр космических полётов (GEM–1 – GEM–10, Годдардовские модели Земли 1–10), Европейское космическое агентство (GRIM 1–4) и другие.

В качестве примера может служить одна из последних Годдардовских моделей GEM–L2, в которой определены коэффициенты зональных и долготных гармоник до 30 степени и порядка включительно. Определение более высоких степеней и порядков коэффициентов гармоник натолкнулось на серьёзную непреодолимую проблему – сепарацию гармоник, то есть разделение вклада той или иной гармоники в характер и величину возмущений. Динамическим методом были получены коэффициенты и более высоких отдельных гармоник, но с привлечением специальных резонансных спутников (n = m » 50).