Задачи для самостоятельного решения

21. Сколькими способами можно распределить между тремя людьми 3n различных предметов так, чтобы каждый получил предметов?

22. Сколькими способами можно разложить т+п+р различных предметов на три группы так, чтобы в первой группе было т, вовторой п, и втретьей р предметов?

23. Сколькими способами можно разделить 12 различных марок между 3 мальчиками, если каждый берет по 4 марки?

24. Сколькими способами можно разделить 12 различных марок между 3 мальчиками, если один берет 6 марок, а остальные − по 3 марки?

Врассмотренных ранее примерах ящики были различимыми. Но это не всегда так. Рассмотрим некоторые примеры.

Задача. Из 60 различных белых грибов хотят сделать 4 связки по 15 грибов в каждой. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.На первый взгляд эта задача относится к разобранному выше типуи имеет ответ  Но здесь есть одна тонкость. При разделе костей домино важно, кому из игроков достанется данный набор костей, а при составлении связок грибов порядок связок роли не играет − в кладовой все они будут висеть вместе. Поэтому ответ надо еще разделить на 4! − число перестановок связок между собой. Поэтому здесь ответ:

Вообще, если надо разделить тр различных предметов на т групп по р предметов в каждой группе, причем порядок групп не учитывается, то число способов раздела равно  

Более общей является такая задача: п различных элементов надо распределить на т групп так, чтобы т  групп содержали по р  элементов, т  групп содержали по р  элементов,…, т  групп содержали по р  элементов (  и ).

Сколькими способами может быть произведен раздел, если

а) группы различимы; б) группы неразличимы, (например, предметы кладутся в одинаковые ящики, которые потом перемешиваются)?

В первом случае ответ имеет вид:

А во втором случае надо иметь в виду возможность перестановки групп, содержащих поровну элементов. Теперьуже ответ иной:

25. Даны 2п элементов. Рассматриваются всевозможные разбиения этих элементов на пары, причем разбиения, отличающиеся друг от друга только порядком элементов внутри пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует различных таких разбиений?

26. Сколькими способами можно из 30 рабочих создать 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде?

27. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 6 бандеролей по 2 книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?