Квантовая физика. Радиоактивность.

Основные формулы:

Энергия фотона: ,

где - постоянная Планка;

   - частота света;

   - длина волны;

   - скорость света в вакууме.

Масса фотона:  

.

Импульс фотона:   

.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

Где - работа выхода электрона из металла;

m - масса электрона;

  - максимальная скорость электрона.

Закон Стефана- Больцмана:

,

Где  - энергетическая светимость абсолютно чёрного тела;

   - постоянная Стефана – Больцмана

   - термодинамическая температура.

Закон Смещения Вина:

,

Где  - длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;

    - постоянная Вина.

Основной закон радиоактивного распада:

,

Где - число ядер, не распавшихся к моменту времени ;

  - число ядер в начальный момент времени ;

   - постоянная радиоактивного распада.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада:

Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. промежуток времени, за который число не распавшихся ядер уменьшается в  раз:

Активность радиоактивного изотопа:

, или

,

Где - число ядер, распадающихся за интервал времени ;

- активность изотопа в начальный момент времени.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР №1.Определить кинетическую энергию и скорость  фотоэлектронов при облучении натрия лучами длиной волны если красная граница (порог) фотоэффекта для натрия

Решение. Кинетическую энергию фотоэлектронов определим из формулы Эйнштейна для фотоэффекта:

(1)

Где - постоянная Планка,

   - частота света,

   - работа выхода электрона,

  - кинетическая энергия фотоэлектронов,

  - масса электрона,

  - скорость фотоэлектрона.

Из формулы (1) следует:

(2)

Частоту света определим по формуле:

(3)

Где - скорость света,

   - длина волны падающего света.

Если поверхность металла освещать лучами частотой , соответствующей красной границе фотоэффекта, то кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю, и формула (1) примет вид:

,   (4)

Где -красная граница фотоэффекта, т.е. максимальная длина волны, при которой ещё возможен фотоэффект.

Подставим во (2) выражение для  из (3) и  из (5):

.

Выпишем числовые значения величин в СИ:

Проверим единицы измерения правой и левой частей формулы (5):

Произведем вычисления:

Из формулы                        

Определяем скорость фотоэлектронов:

. (6)

Выпишем числовые значения и произведем вычисления:

ПРИМЕР №2 Максимум энергии излучения абсолютного черного тела при некоторой температуре приходится на длину волны  мкм. Вычислить энергетическую светимость тела при этой температуре и энергию , излучаемую с площади  см  поверхности тела за время  мин. Определить также массу, соответствующую этой энергии.

Решение. Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется по формуле:                                    (1)

Где - постоянная Стефана –Больцмана,

   - абсолютная температура тела.

Абсолютную температуру определим из закона смещения Вина:

,

откуда , (2)

где -длина волны, на которую приходиться максимум излучения  при температуре - постоянная Вина.

Подставим выражение для из (2) в (1), получим:

. (3)

Выпишем числовые значения в СИ:

Вт/ ( ),

м·К,

 мкм м.

Проверим единицы измерения правой и левой частей формулы (3):

Произведем вычисления:

Энергию, излучаемую с площади поверхности тела за 1 мин, определим по формуле:

(4)

Выпишем числовые значения в СИ:

,

,

Проверим единицы измерения правой и левой частей формулы(4):

Произведем вычисления:

Массу излучения определим, исходя из закона Эйнштейна взаимосвязи энергии и массы:

, (5)

Где - скорость света в вакууме, откуда

   (6)

Выпишем числовые значения величин и вычислим массу:

,

ПРИМЕР №3 Какую мощность нужно подводить к свинцовому шарику радиусом 4 см, чтобы поддерживать его температуру при ,если температура окружающей среды  Считать, что тепло теряется только вследствие излучения. Поглощательная способность свинца равна 0,6.

Дано:  ( ;  

Найти:

Решение. По закону Стефана – Больцмана для абсолютно черного тела энергетическая светимость равна

 ,

Где - постоянная закона Стефана-Больцмана.

Энергию, излучаемую с площади поверхности шара в единицу времени, равную тепловому потоку, выразим

.

Но так как излучение происходит в среду с температурой , то шар одновременно и поглощает тепло. Результирующий поток излучения будет равен:

Подставляя численные значения, вычисляем

 (Вт).

Проверяем единицу измерения

ПРИМЕР №4 Сколько атомов радиоактивного натрия  массой 2мг распадается за 10ч и за 0,01с?

РЕШЕНИЕ Число атомов, распавшихся за некоторый промежуток времени , можно выразить равенством

где - начальное число атомов (при t = 0);

  N - число атомов, не распавшихся к моменту времени t

   Но число атомов, не распавшихся к моменту времени t, выражается законом радиоактивного распада, т. е.

Где - постоянная радиоактивного распада.

С учетом этого равенство (1) примет следующий вид:

Преобразуем в этой формуле выражение

так как  где T- период полураспада.

После такого преобразования формула (3) примет вид:

Вычислим входящее в эту формулу число N₀. Число атомов N₀, содержащихся в некоторой массе m вещества, равно произведению числа Авогадро на количество вещества m/µ, т. е.

N₀=N ·m/µ 

В данном случае m = 2мг = 2·10^-6кг и µ=24·10^-3кг, поэтому

N₀=6,022·10²³·2·10^-6/24·10^-3=5,01·10¹⁹атомов.

Теперь можно определить число атомов, распадающихся за указанные в условии задачи промежутки времени.

Для вычисления числа атомов, распадающихся за время, равное 10ч, можно применить непосредственно формулу (4). Подставив в нее числовые значения величин N₀= 5,01·10¹⁹атомов и Т=14,8ч = 5,33·10⁴с, получим:

.

Пользоваться формулу (4) для определения числа атомов, распадающихся за время, равное 0,01с, не следует, так как в этом случае вычисление выражения

весьма затруднительно.

Поэтому вместо формулы (4) получим приближенную формулу.

Для этого разложим в ряд выражение .     

Из математики известно, что

Следовательно,

Но ввиду малости  членами разложения, содержащими вторую и более высокие степени числа , можно пренебречь.

Тогда                                      

И выражение (4) примет вид:

Подставив сюда числовые значения величин, получим: