ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Основные формулы

Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля:

=μμ₀ ,

где μ  – магнитная проницаемость изотропной среды;

μ₀ – магнитная постоянная.

 В вакууме μ=1, и тогда магнитная индукция в вакууме:

₀=μ₀ .

Закон Био-Савара-Лапласа:

или ,

где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl

с током I;

r – радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция;

α – угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре кругового тока:

,

где R – радиус кругового тока.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

,

где h – расстояние от центра до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока:

B=μμ₀I/2πr₀,

где r₀ – расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (рис. 12а):

.

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой – это значит, что  направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 12б): -cosα₂ = cosα₁= cosα, тогда

.

Магнитная индукция поля соленоида:

В=μμ₀nI,

где п – отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера)

или          F=IВl·sinα,

где l – длина проводника;

α –  угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле неоднородное и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

.

Сила взаимодействия параллельных проводников с током:

,

где d – расстояние между проводниками.

Магнитный момент плоского контура с током:

­_m= IS,

где  – единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура;

I – сила тока, протекающего по контуру;

S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещённый в однородное магнитное поле:

=[ _m· ],      или       M=P­_m·Bsinα,

где α –  угол между векторами ­_m и .

Потенциальная энергия (механическая)^* контура с током в магнитном поле:

П_мех=- ­_m·  или  П_мех=-P­_m·B cosα.

Отношение магнитного момента P­_m к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

,

где q – заряд частицы;

 т – масса частицы.

Сила Лоренца:

=q[ · ]     или   F=quBsinα,

где u – скорость заряженной частицы;

α –  угол между векторами  и .

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности:

Ф=ВScosα        или          Ф=Вn·S,

где S – площадь контура;

α –  угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

b) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

(интегрирование ведётся по всей поверхности).

Потокосцепление (полный поток):

Ψ=NФ.

Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле:

А=IΔФ.

Э.Д.С. индукции:                     .

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью u в магнитном поле:  

U=Blusinα,

где l – длина проводника;

α –  угол между векторами  и .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:      

    или ,

где R – сопротивление контура.    

.

Э.Д.С. самоиндукции: 

.

Индуктивность соленоида:  

L=μμ₀n²V.

где n – отношение числа витков соленоида к его длине;

V – объём соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а)  (при замыкании цепи),

где ε_i – Э.Д.С. источника тока;

 t – время, прошедшее после замыкания цепи;

b)  (при размыкании цепи),

где I₀ –  сила тока в цепи при t = 0;

 t –  время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля: 

.

Объёмная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объёму):

ω=BH/2,     или ,  или

где В – магнитная индукция;

 Н – напряженность магнитного поля.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР №1. Два параллельных бесконечно длинных провода Д и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60A, расположены на расстоянии d=10см друг от друга (рис. 13).

Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводниками в точке А, отстоящей от оси одного проводника на расстояние r₁=5см, от другого r₂=12см.

РЕШЕНИЕ. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В_1­ и В₂ полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

= _1­ + .

Модуль вектора  может быть найден по теореме косинусов:

, (1)

где α - угол между векторами _1­ и ₂.

Магнитные индукции В_1­ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от проводов до точки А: 

; .

Подставляя выражения В_1­ и В₂ в формулу (1) и вынося  за знак корня, получаем:    

.  (2)

Вычислим cosα. Заметив, что α равен углу ДСА (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем:

,

где d – расстояние между проводами.

 Отсюда     ,                       .

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведём вычисления:     

=3,08·10^-4Тл.

ПРИМЕР №2. Плоский квадратный контур со стороной а=10см, по которому течёт ток I=100А, свободно установился в однородном магнитном поле В=1Тл (рис. 14). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ₁=90⁰; φ₂=3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

РЕШЕНИЕ. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил:

M=P­_mВsinφ, (1)

где  P­_m – магнитный момент контура;

 В – магнитная индукция;

φ – угол между вектором ­_m, направленным по нормали к контуру, и вектором .

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М=0), а значит, φ=0, т.е. вектора ­­_m и  совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Т.к. момент сил переменный (зависит от угла поворота φ), то для подсчёта работы применим формулу работы в дифференциальной форме:

dA=Mdφ .

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что P­_m =IS=Ia², где I – сила тока в контуре; S=a² – площадь контура, получим:

dA=IВa²sinφ·dφ .

Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу при повороте на конечный угол:

. (2)

1. Работа при повороте на угол φ₁=90⁰.

. (3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I=100А; В=1Тл; а=10см=0,1м и подставим в формулу (3):

А₁=100·1·(0,1)²Дж=1Дж.

2. Работа при повороте на угол φ₂=3⁰. В случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (2) sinφ≈φ:

 . (4)

Выразим угол φ₂=3⁰ в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдём:

А₂=½·100·1·(0,1)²·(0,0523)²Дж=1,37·10^-3Дж=1,37мДж.

Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:

А=I(Ф₁-Ф₂),

где Ф₁ – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;

Ф₂ – то же, после перемещения.

В случае φ₁=90⁰  Ф₁=BS; Ф₂=0 . Следовательно,

А=IBS=Iba²,

что совпадает с полученным выше результатом (3).

ПРИМЕР №3. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400В, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н=10А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

РЕШЕНИЕ. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F_л (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение:

F_л=ma_n,

или

euB·sinα= , (1)

где e – заряд электрона;

 u – скорость электрона;

B – магнитная индукция;

m – масса электрона;

R – радиус кривизны траектории;

 α - угол между направлением вектора скорости u и вектором B (в данном случае  перпендикулярен  и sinα=1).

Из формулы (1) найдём:

. (2)

Входящий в равенство (2) импульс mu может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона:

. (3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством

T=eU.

Подставив это выражение T в формулу (3), получим

.

Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность магнитного поля в вакууме соотношением

В=µ₀Н,

где µ₀ – магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения В и mu в формулу (2), определим

.    (4)

Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ: m=9,11·10^-31кг, е=1,60·10^-19Кл, U=400В, µ₀=4π·10^-7Гн/м, Н=10А/м. Подставим эти значения в формулу (4) и произведём вычисления:

=5,37·10^-2м=5,37см

Для определения частоты обращения п воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

. (5)

Подставим в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим

        или        .

Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены в единицах СИ. Подставим их и произведём вычисления:

.

ПРИМЕР №4. В однородном магнитном поле индукцией В=0,1Тл равномерно с частотой п=10об/с вращается рамка, содержащая N=1000 витков, плотно прилегающих друг к другу (рис. 15). Площадь рамки S=150см². Определить мгновенное значение Э.Д.С. индукции ε_i, соответствующее углу поворота рамки в 30⁰.

РЕШЕНИЕ. Мгновенное значение Э.Д.С. индукции ε_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла.

, (1)

где ψ – потокосцепление.

Потокосцепление ψ связано с магнитным потоком Ф и числом N витков, прилегающих друг к другу соотношением

Ψ=NФ.

Подставляя выражение для ψ в формулу (1), получим:

. (2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону:

Ф=ВScosα t,

где В – магнитная индукция,

S – площадь рамки,

 ω – круговая (или циклическая) частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение Э.Д.С. индукции:

ε_i=NBSw sinω t. (3)

Круговая частота ω связана с частотой вращения п соотношением 2πп.

Подставляя значение ω в формулу (3), получим:

ε_i=2πnNBSsinω t .

Выразим физические величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:    n=10с^-1; N=10³; S=1,5·10^-2м²; В = 0,1 Тл;  ωt=30⁰=π/6, подставив их в формулу (4), произведём вычисления:

ε_i=2·3,14·10·10³·0,1·1,5·10^-2·0,5В=47,1В.

ПРИМЕР №5. На железный стержень длиной 50см и сечением 2см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5А.

РЕШЕНИЕ. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течёт ток I, выражается формулой:

W= LI². (1)

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины п, от объёма сердечника V и от магнитной проницаемости µ сердечника, т.е.

L=µµ₀n²V , (2)

где µ₀ – магнитная постоянная.

Магнитную проницаемость можно выразить следующей формулой:

,          (3)

где В – индукция магнитного поля,

 Н – напряжённость.

Подставив в формулу (1) выражения индуктивности L и магнитной проницаемости, получим:

.

Выразим в этой формуле объём сердечника через его длину и сечение S:

. (4)

Напряжённость магнитного поля может быть найдена по формуле:

Н=пI.

Подставив данные в единицах СИ (п=2·10 витков/м, I=0,5А), получим:

Н=2·10³·0,5А/м=10³А/м.

По графику (граф.1) находим, что значению напряжённости магнитного поля 10³ А/м в железе соответствует индукция, равная 1,3Тл.

Выразим теперь все данные, входящие в формулу (4), в единицах СИ:

В=1,3Тл          n=2·10³м^-1         S=2·10^-4м²

Н=10³ А/м         I=0,5А               l=0,5м

Подставим эти значения в формулу (4) и произведём вычисления:

Дж=0,065Дж.

ПРИМЕР №6. В колебательном контуре, состоящем из индуктивности и ёмкости, максимальный ток в катушке 1А, а максимальное напряжение на конденсаторе 1000В. В момент времени 1,57·10^-6с, считая от напряжения, равного нулю, энергия в катушке становится равной энергии в конденсаторе. Вычислить период колебаний контура, энергию контура. (Омическое сопротивление считать пренебрежимо малым).

Дано: I₀=1А; U=1000В; t=1,57·10^-6с; W_э = W_м  .

РЕШЕНИЕ. Находим период колебаний контура. По условию в заданный момент энергия магнитного поля равна энергии электрического поля в конденсаторе. Сумма этих энергий определяет полную энергию W контура:

; , (1)

где L – индуктивность контура;

I – сила тока в контуре;

С – ёмкость конденсатора;

U – напряжение на пластинах.

Полная энергия контура, выраженная через максимальное напряжение:

.  (2)

Из (1), (2) определим, что            . (3)

Используем уравнение гармонического колебания напряжения (отсчёт ведём от напряжения, равного нулю):        

,

где U₀ – амплитуда напряжения (максимальное напряжение);

     Т – период колебаний;

  t – время колебания.

 С учётом (3) получим , отсюда Т=8t. Таким образом, период колебаний в контуре      Т=8·1,57·10^-6=12,6·10^-6(с).

Вычислим теперь полную (максимальную) энергию контура. Она равна максимальной энергии электрического поля конденсатора (энергия магнитного поля при этом равна нулю) или максимальной энергии магнитного поля (энергия электрического поля равна нулю):      

; (4)

, (5)

где I₀ – максимальный ток в катушке. Используя формулу Томсона  , получим:         

. (6)

Перемножая (4) и (5) и извлекая корень, определим:

и с учётом (6) получим:

.

Вычисляем полную энергию:        

   (Дж).