ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Основные формулы

Закон Кулона:  

,

где F – сила взаимодействия точечных зарядов q₁ и q₂;

r – расстояние между зарядами;

 ε – диэлектрическая проницаемость;

 ε₀ – электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля и потенциал:  

= /q, φ=П/q,

где П – потенциальная энергия точечного положительного заряда q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удалённого в бесконечность, равна нулю).

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда:     

F=qE, П=qφ.

Напряжённость и потенциал поля, созданного системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей):

;      ,

где Е_i, φ_i – напряжённость и потенциал в данной точке поля, созданного i-м зарядом.

Напряжённость и потенциал поля, созданного точечным зарядом:

;    ,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряжённость и потенциал.

Напряжённость и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиусом R на расстояние r от центра сферы:

a) Е = 0,­­­­­­­­­­­  (при R>r),

b)  ,  (при r=R),

c)  ,  (при r>R),

где q – заряд сферы.

Линейная плотность заряда:              τ =q/l.

Поверхностная плотность заряда:     σ =q/S.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределёнными зарядами.

Если заряд равномерно распределён вдоль линии с линейной плотностью τ , то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq=τdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы:

,  ,

где r – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряжённость.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряжённость Е и потенциал φ поля, создаваемого распределённым зарядом:    

,  .

Интегрирование ведётся вдоль всей длины l заряженной линии.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной прямой, равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром:    

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряжённость поля в которой вычисляется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:        

Е=σ/εε₀.

Связь потенциала с напряжённостью:

a) = -qrad φ,или ;

b) E=(φ₁-φ₂)/d (в случае однородного поля);

c) E=-dφ/dr (в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией).

Электрический момент диполя: =|q|· ,

где q – заряд; 

l – плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂:  А_1-2=q(φ₁-φ₂).

Электроёмкость:          

С= q/φ        или          С= q/U,

где φ – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю);

  U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроёмкость уединённой проводящей сферы радиусом R: 

С=4πεε₀/R.

Электроёмкость плоского конденсатора: 

С=εε₀ S/d,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора;

d – расстояние между пластинами.

Электроёмкость батарей конденсаторов:

a)  (при последовательном соединении);

b)  (при параллельном соединении);

где n – число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора: 

W=qU/2=CU²/2=q²/2C.

Сила тока: 

I=q/t,

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока:                           j=I/S,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью <u> направленного движения заряженных частиц:    

j=en<u>,

где е – заряд частицы;

п – концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

a) I=(φ₁-φ₂)/R=U/R (для участка цепи, не содержащего ЭДС),

где φ₁-φ₂ =U – разность потенциалов (напряжение) на концах цепи;

R – сопротивление участка;

b)  (для участка цепи, содержащего ЭДС),

где ε – ЭДС источника тока;

R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

c) I=ε/(R+r) (для замкнутой (полной) цепи),

где R – внешнее сопротивление;

  r – внутреннее сопротивление цепи.

Закон Кирхгофа:

a)  (первый закон);

b)  (второй закон),

где  – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;

 – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков контура;

 – алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G – проводника: 

R=ρl/S; G=γS/l,

где ρ – удельное сопротивление;

γ – удельная проводимость;

l – длина проводника;

S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

a)  (при последовательном соединении);

b)  (при параллельном соединении),

где R_i – сопротивление i-го проводника.

Работа тока:      

A=IUt=I²Rt=U²t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока:  

P=IU=I²R=U²/R.

Закон Джоуля - Ленца:    

Q=I²Rt.

Закон Ома в дифференциальной форме:  

,

где γ – удельная проводимость;

– напряженность электрического поля;

 – плотность тока.

Связь удельной проводимости с подвижностью b зараженных частиц (ионов):

γ=Qn(b₊+b_-),

где Q – заряд иона;

n – концентрация ионов;

b₊ и b_- –подвижности положительных и отрицательных ионов.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР №1. Два точечных электрических заряда q₁=1нКл и q₂=-2нКл находятся в воздухе на расстоянии d=10см друг от друга. Определить напряжённость и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А, если расстояние r₁=9см и r₂=7см.

РЕШЕНИЕ. Общая (результирующая) напряжённость Е в точке А равна сумме напряжённостей двух полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂, т.е.

, (1)

где  – напряжённость поля заряда

– напряжённость поля заряда q₂.

На рисунке вектор  направлен от заряда q₁, так как этот заряд положительный, вектор ₂ направлен в сторону заряда q₂, так как этот заряд отрицательный. Результирующий вектор  совпадает по величине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах. Абсолютное значение этого вектора найдём из соотношения:

. (2)

Абсолютную величину напряженностей ₁ и ₂, а также cos определим по формулам:   

; (3)

. (4)

Выразим числовые значения всех величин в единицах СИ:

q₁=10^-9Кл;q₂=-2·10^-9Кл;ε=1; r₁=9см=0,09м;r₂=0,07м; d=0,1м.

Ф/м.

Подставив эти числовые значения в формулы (3), (4) и (2), получим:

В/м=1,11·10³ В/м;

 В/м=3,68·10³ В/м.

При вычислении Е₂ знак заряда q₂ был опущен, так как в данном случае важно знать абсолютное значение напряжённости

;

В/м =3,58×10³ В/м.

Потенциал φ результирующего поля, созданного двумя зарядами q₁ и q₂, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.

φ= φ₁+φ₂.            (5)

Потенциал φ₁ является положительным, так как поле создано положительным зарядом q₁; потенциал φ₂ является отрицательным, так как поле создано отрицательным зарядом q₂.

Потенциал поля, созданного точечным зарядом, определяется по формуле:

.    (6)

Подставив сюда числовые значения величин, получим:

В =100В;

В = - 257В.

Подставив в выражение (5) численные значения потенциалов φ₁ и φ₂ с учётом их знаков, получим:

Φ=100В-257В=-157В.

ПРИМЕР №2. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U₀=10кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряжённого до разности потенциалов U₁=100В, по линии АВ, параллельной пластинам. Расстояние d между пластинами равно 2см. Определить расстояние ВС на экране PQ, отстоящем от конденсатора на l₂=1м. Длина пластин конденсатора равна 20см.

РЕШЕНИЕ. Движение электрона внутри конденсатора складывается из двух движений:

1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоростью u₀, приобретенной под действием разности потенциалов U₀, которую электрон прошел до конденсатора;

2) равномерно ускоренного движения в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под действием постоянной силы поля конденсатора.

По выходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоростью u, которую он имел в точке М в момент вылета из конденсатора.

Из рисунка видно, что искомое расстояние |ВС|=h₁+h₂,

где h₁ – расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h₂ – расстояние между точкой Д на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденсатора по направлению начальной скорости u₀, и точки С, в которую электрон попадает в действительности.

Выразим отдельно h₁ и h₂.

Пользуясь формулой длины пути равномерно ускоренного движения, найдём

h₁=at²/2,     (1)

где а – ускорение, полученное электроном под действием поля конденсатора;

t – время пролёта электрона внутри конденсатора.

По второму закону Ньютона: а=F/m,

где F – сила, с которой поле действует на электрон, т – его масса.

В свою очередь, F=еЕ=еU₁/d,

где е – заряд электрона;

U₁ – разность потенциалов между пластинами конденсатора;

d – расстояние между ними.

Время полёта электрона внутри конденсатора найдём из формулы пути равномерного движения l₁=u₀t, откуда t = l₁/u₀,

где l₁ – длина конденсатора в направлении полёта электрона. Выражение скорости u₀ найдём из условия равенства работы, совершённой полем при перемещении электрона, и приобретённой им кинетической энергии:

 .    Откуда

.       (2)

Подставляя в формулу (1) последовательно значения a, F, t, и u₀² из соответствующих выражений, получим:  

.

Длину отрезка h₂ найдём из подобия треугольников ΔМДС и векторного:

,      (3)

где u₁ – скорость электрона в вертикальном направлении в точке М;

  l₂ – расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость u₁ найдём по формуле u₁=at, которая с учётом выражений для a, F и  t примет вид:               .

Подставив выражение u₁ в формулу (3), получим:      

или, заменив u₀² по формуле (3), найдём:

.

Окончательно для искомого расстояния |ВС| будем иметь:

|ВС|=h₁+h₂= .

Подставив значение величин U₁,U₀, d, l₁ и l₂ в последнее выражение и произведя вычисления, получим |ВС|=5,5см.

ПРИМЕР №3. Конденсатор ёмкостью 3·10^-3 Ф был заряжен до разности потенциалов 40В. После отключения от источника тока конденсатор был соединён параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью 5·10^-3Ф. Какое количество энергии первого конденсатора израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

РЕШЕНИЕ. Количество энергии ΔW, израсходованное на образование искры, равно:

ΔW=W₁ - W₂,    (1)

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему

  второго конденсатора;

W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле:   

W=CU²/2, (2)

где С – ёмкость конденсатора или батареи конденсаторов;

U – разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и принимая во внимание, что общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов, получим:

, (3)

где С₁ и С₂ – ёмкости первого и второго конденсаторов;

U₁ – разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;

U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

.

Подставив это выражение U₂ в формулу (3), получим:

.

После простых преобразований найдём:   

.

В полученное выражение подставим числовые значения и вычислим ΔW:

С₁=3·10^-3Ф    С₂=5·10^-3Ф U₁=40В

Дж=1,5Дж

ПРИМЕР №4. Найти токи, протекающие в каждой ветви электрической цепи (рис.10), если ε₁=130В, ε₂=117В, R₁=0,5 Ом, R₂=0,3 Ом, R₃=12 Ом. Внутреннее сопротивление источников ЭДС не учитывать.

Дано: ε ₁=130В, ε ₂=117В, R₁=0,5 Ом, R₂=0,3 Ом, R₃=12 Ом.

Найти: I₁, I₂, I₃.

РЕШЕНИЕ. Задача дана для расчёта разветвлённых цепей, когда в них есть несколько источников тока. При решении задач такого типа рационально пользоваться законами Кирхгофа. Первый закон сформулирован для узлов, т.е. точек разветвления цепи, в которых сходится больше двух проводников: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.

.

Второй закон – для замкнутых контуров – гласит: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивление соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре:

.

Решая совместно составленные по этим законам уравнения, можно определить ту или иную искомую величину (сопротивление внешней цепи или источника, силы токов, ЭДС). Для составления уравнений по указанным законам надо придерживаться следующих правил:

1. Обозначить на схеме буквами узлы и контуры.

2. Произвольно выбрать направления токов (если они не оговорены условием задачи) во всех участках цепи и обозначить их на чертеже стрелками.

3. Учесть направление токов при составлении первого закона. Положительными считать токи, подходящие к узлу, а отрицательными – отходящие от узла.

4. Составить систему уравнений для первого закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по этому закону, должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи.

5. Выбрать произвольно направление обхода контуров. Условиться, что ЭДС в уравнении будет положительной, если направление от отрицательного полюса к положительному совпадает с направлением обхода, в противном случае ЭДС следует считать отрицательной.

6. Считать падение напряжения в цепи (IR) положительным, если выбранное ранее направление тока на этом участке (между двумя узлами) совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если направление тока не совпадает с направлением обхода контура.

7. Первый контур выбирается произвольно. При составлении уравнений следующих контуров надо включать в них контуры, ранее не входившие.

8. Число уравнений, составленных по закону Кирхгофа, определяется следующими условиями: если число контуров в цепи т, а узлов п, то число независимых уравнений, достаточных для решения, будет равно т-п+1

9. Получение в ответе токов с отрицательными знаками означает только то, что было выбрано направление, обратное действительному.

Согласно сформулированным выше правилам решаем задачу 4:

1) обозначаем на схеме контуры, узлы и направления токов;

2) установим число т – число ветвей (в данной схеме их три) и число п – число узлов (в схеме их два – в точке В и Н);

3) для составления уравнений по первому закону Кирхгофа, как мы установили, достаточно выбрать один из указанных узлов. Выбираем узел В, в котором сходятся токи от трёх проводников, учитывая направление токов, получим:

I₁-I₂-I₃=0;     (1)

4) устанавливаем число уравнений, необходимых для решения задач по второму закону Кирхгофа. Это число уравнений равно т-п+1=3-2+1=2. Выбираем контуры ВСДНВ и АВНТА. Устанавливаем обход по контуру ВСДНВ. Учитывая привило знаков при переходе токов внутри источника ЭДС, выбираем обход по часовой стрелке, при котором ЭДС ε₁ будет положительной. С учётом выбранного ранее направления токов составляем первое уравнение по второму закону Кирхгофа:

-I₂R₂+I₃R₃=ε₂.(2)

Составим уравнение для второго контура. Для этого устанавливаем направление

обхода для контура АВНТА. Т.к. в этом контуре два источника тока и ε₁ к ε₂, обход начинаем от ε₁ к ε₂ по часовой стрелке.

Кроме того, знаки при ЭДС и падении напряжения (IR) устанавливаем в соответствии с ранее записанными правилами:

I₁R₁+I₂R₂=ε₁-ε₂. (3)

Из уравнения (1) находим:

I₁=I₂+I₃. (4)

Для определения числовых результатов подставляем в формулу (2) и (3) известные числовые значения сопротивлений и ЭДС:

-0,3I₂+12I₃=117    (5)

0,5I₁+0,3I₂ =130-117    (6)

После сложения (5) и (6) получим:

0,5I₁+12I₃=130; I₁=260-24I₃.  (7)

Подставляя полученную силу тока I₁ в (4), находим 260-24·I₃=I₂+I₃. Следовательно,

I₂=260-25I₃    (8)

Силу тока I₂ (8) используем в выражении (5):

0,3(260-25I₃)+12I₃=117;

19,5I₃=195; I₃=10(А).      (9)

Зная I₃ из формулы (7), находим:

I₁=260-240=20(А).         (10)

Определяем значение I₂ из выражения (4):

I₂= I₁- I₃=20-10=10(А).

ПРИМЕР №5. Батарея состоит из пяти последовательно соединённых элементов. ЭДС каждого – 1,4В, внутреннее сопротивление каждого – 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи:

Дано: ε_i=1,4В, r_i=0,3 Ом, P_n=8Вт, п=5.

Найти: I₁, I₂, P_{n max}.

РЕШЕНИЕ. Полезная мощность батареи:

P_n=I²R,      (1)

 где R – сопротивление внешней цепи, I – сила тока, которая определяется по закону Ома:

. (2)

Здесь пε_i – ЭДС, а пr_i – внутреннее сопротивление п последовательно соединённых элементов.

Выразим R из (1):

R= P_n/ I²

и, подставив это выражение в (2), получим:

;  (3)

I(nr_i+P_n/ I²)= nε_i. (4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

nr_iI²- nε_iI+P_n=0.

Решая квадратное уравнение, найдём:

.

Подставляя числовые значения, получим:

                             ;                                 

.

Для того, чтобы определить наибольшую полезную мощность батареи, найдём зависимость её от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):

. (5)

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах ε_i и пr_i мощность является функцией одной переменной – внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если dP_n/dR=0, следовательно, имеем:

 или . (6)

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивления внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует R=пr_i . Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем:

.

Произведя вычисления, найдём:

P_{n max}=5·1,4²/4·0,3=8,16(Вт).

Ответ: I₁=2,66А, I₂=2А, P_{n max}=8,16Вт.

ПРИМЕР №6.

Вычислить общее сопротивление цепи, если R₁=2 Ом, R₂=1 Ом, R₃=4/3 Ом, R₄=3 Ом, R₅=5 Ом, R₆=2 Ом. Какой ток потечёт через резисторы, если контур подключить точками А и В к источнику напряжения 10В?

РЕШЕНИЕ. Данное соединение является смешанным, т.к. в нём присутствуют элементы параллельного и последовательного соединения. Расчёт общего сопротивления начинаем с самого элементарного контура, образованного параллельно соединёнными резисторами R₅ и R₆.

;

(Ом^-1);

R_5,6=1 Ом.

Сопротивление R₄ соединено с эквивалентным сопротивлением R_5,6 последовательно:

R_4,5,6= R_5,6+R₄=1 Ом+3 Ом=4 Ом.

Сопротивление R₃ соединено с эквивалентным сопротивлением R_4,5,6 параллельно:

;

(Ом^-1);   R_3-6=1 Ом.

Аналогично

R_2-6= R_3-6+R₂=1 Ом+1 Ом=2 Ом.

; (Ом^-1).

R_общ=1 Ом.

Расчёт токов начинаем с определения тока в неразветвлённой части цепи (I­_общ):

I­_общ=U/R_общ=10B/1 Ом=10A.

Сила тока, протекающего через сопротивление R₁:

I­₁=U/R₁=10B/2 Ом=5A (т.к. U₁=U).

При параллельном соединении ток в неразветвлённой цепи равен сумме токов в ветвях:

I­_общ= I­₁+ I­₂;

I­₂= I­_общ - I­₁=10А-5А=5А.

Падение напряжения на R₂ определим по закону Ома:

U₂=I₂R₂=5A·1 Ом=5В.

Напряжение на резисторе R₃:

U₃=U-U₂=10В-5В=5В.

Сила тока:  

;

I­₄= I₂-I­₃ =5А - ¹⁵/₄А = ⁵/₄А;

U₄ =I₄R₄ = ⁵/₄А·3 Ом = ¹⁵/₄В;

U₅=U₃-U₄ =5В - ¹⁵/₄В = ⁵/₄В;

;

I­₆= I₄ -I­₅ = ⁵/₄А - ⁵/₈А = ⁵/₈А.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.