Тема 3. Операции по сложным процентным ставкам

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к имеющейся денежной сумме, то говорят о сложной процентной ставке (о наращении по сложной процентной ставке).

Сложная процентная ставка применяется для среднесрочных и долгосрочных финансовых операций.

При наращении по сложной процентной ставке используют те же обозначения, что и при наращении по простой ставке. Саму сложную процентную ставку обозначают i_с.

k_Hc – коэффициент наращения по сложной процентной ставке

Если действует годовая ставка, то за первый год проценты составят:

I₁= i_с *P, а наращенная сумма за этот же год:

S₁=P+I₁=P+ i_с*P=P*(1+ i_с)

За второй год проценты составят:

I₂= i_с *S₁, а наращенная сумма:

S₂=S₁+I₂=S₁+ i_с *S₁=S₁*(1+ i_с)=P*(1+ i_с)²

Аналогичные рассуждения проводим для каждого года. Тогда, по прошествии всего срока операции в n лет, наращенная сумма составит

S= P*(1+ i_с)² – основная формула наращения по сложной процентной ставке.

k_Hc=(1+ i_с)²

Выведем формулу для расчета сложной процентной ставки:

Выведем формулу для расчета срока операции:

Номинальная сложная процентная ставка.

Бывают ситуации, когда проценты начисляются несколько раз в год. Например, ежемесячно, ежеквартально или по полугодиям. В этом случае оговаривается номинальная сложная процентная ставка j – это годовая ставка, по которой определяется величина процентной ставки на каждом отдельном интервале начисления. При m равных интервалах начисления и годовой ставке j в каждом отдельном интервале будет действовать ставка j/m.

Если срок операции составляет n лет, тог пройдет m*n интервалов начисления.

Тогда по аналогии с наращением по сложной процентной ставке получаем основную формулу наращения по номинальной сложной процентной ставке:

Приближенный метод расчета по сложной процентной ставке.

Если срок операции n составляет дробное число лет, то для расчета наращенной суммы придется пользоваться инженерным калькулятором. А для приближенных расчетов можно воспользоваться формулой:

n_a - целое число лет

n_b - дробная часть срока операции

n=n_a+n_b

Для целой части n_a расчет ведем как по сложной процентной ставке, а для дробной части n_b как по простой.

При изменении процентной ставки и продолжительности ее действия расчет выполняем следующим образом:

i_c1 действует в течение времени n₁

i_c2 действует в течение времени n₂

….

i_ck действует в течение времени n_k

Тогда коэффициент наращения принимает следующий вид:

Сложные учетные ставки.

dc – сложная учетная ставка

dc% - сложная учетная ставка в виде математических процентов

S – сумма, возвращаемая в будущем

P – сумма, получаемая в настоящий момент

f – номинальная сложная учетная ставка.