Доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема

 Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего  сторон, равна .

Доказательство:

Если какую-то точку  внутри выпуклого многоугольника соединить со всеми вершинами, то получится столько же треугольников, сколько сторон у многоугольника  . Сумма внутренних углов всех треугольников равна  , а сумма углов данного многоугольника меньше на   (полный угол при вершине ) и равна .

Свойства перпендикуляра и наклонной (без доказательства).

Теорема - основное свойство перпендикуляра.

 Пусть А - некоторая точка, расположенная вне прямой l, В - точка на l такая, что прямая АВ перпендикулярна l, С - произвольная точка на l, отличная от В. Тогда АВ < АС.

То, что прямая АВ перпендикулярна l, можно записать следующим образом: АВ ^ l.

Точку В называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на l, или проекцией точки А на l.

Утверждение теоремы кратко выражают следующим образом: перпендикуляр меньше любой наклонной (наклонной является АС), или так: кратчайшим путем от точки к прямой является перпендикуляр к прямой.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Доказать теорему об отношении площадей подобных многоугольников.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников:

Для тех, кто не знает треугольники называются подобными, если

1. Два угла 1 треугольника соответственно равны 2 углам другого треугольника

2. Две стороны 1 треугольника пропорциональны 2 сторонам другого треугольника и углы, заключенные между сторонами, равны.

3. Три стороны 1 треугольника пропорциональны 3 сторона другого треугольника.

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A=A1, то

 S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1

 (по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k

 поэтому

S/S1 = k2

Теорема доказана.