Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

1. Доказать один из признаков равенства прямоугольных треугольников.

    Теорема 3 (третий признак равенства — по гипотенузе и острому углу)

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Дано: и , , , .

Требуется доказать: .

Доказательство:

Доказываем наложением на . Гипотенузы при этом совместятся. пойдёт по , так как . Но и . совпадёт с .

Теорема 4 (четвёртый признак равенства — по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

Дано: и , , , .

Требуется доказать: .

Доказательство:

Для доказательства применим способ приложения, которым был доказан признак равенства всяких треугольников. Приложим и равными катетами. Тогда сумма двух прямых есть развёрнутый угол, стороны которого и образуют одну прямую. .

Из равенства наклонных и следует: . По трём сторонам или по двум катетам треугольники и равны.

6. Формулы площади правильного многоугольника.                 

Вписанный в окружность радиуса R:

Описанный около окружности радиуса r:

1. Доказать один из признаков равенства треугольников.

1-ый признак равенства треугольников(Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.).

Дано:
A= A
AB= A Bя
AC= A C

Доказать:

ΔABC=ΔA B C

Доказательство:

Так как А= А  ( по условию), то треугольник АВС можно наложить на треугольник А В С , так что вершина А совместится с вершиной А  , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А В и А С . Поскольку АВ = А В , АС = А С , то сторона АВ совместится со стороной А В , а сторона - АС со стороной А С ; в частности совместятся точки В и В , С и С . Следовательно, совместятся стороны ВС и В С . Итак, ∆АВС и ∆А В С полностью совместятся, значит они равны.

1. Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника через радиус вписанной окружности.

Правильный многоугольник, вписанный в окружность R:

Правильный многоугольник, описанный около окружности r:

1. Параллелограмм. Доказать одно из свойств параллелограмма.

Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, каждые три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх непересекающихся отрезков, последовательно соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками.

Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Теорема: Если у выпуклого четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограмм.

Дано:

AB, BC, CD, DA – стороны;

AB и BD – диагонали.

Д-ть:

Четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Д-во:

AB=DC, D= B (т.к. 1+ 3= 2+ 4) и A= C (т.к. 5+ 6= 8+ 7); ∆АOB= ∆DOC ( 2= 1; 5= 7; AB=DC); тогда AO=OC и DO=OB; тогда AD параллельно BC; AB параллельно DC; поэтому четырехугольник ABCD – параллелограмм, ч.т.д.

1. Центральная симметрия. Свойства центральной симметрии.

Центральная симметрия или симметрия относительно точки (центра) – Z0 т. О – центр симметрии. Т. М и М1 называются симметричными относительно точки О, если т. О – середина отрезка ММ1, т.е. 1) симметричные точки и т. О принадлежит ММ1; 2) МО=ОМ1

Общие свойства

· Центральная симметрия является движением (изометрией).

· В n-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию n последовательных отражений относительно n взаимно перпендикулярныхгиперплоскостей, проходящих через центр симметрии. В частности

· В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.

· Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ( ).

· Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:

Изоме́три́я, или движе́ние, или (реже) наложе́ние — биекция (преобразование), которая сохраняет расстояние между соответствующими точками, то есть если и — образы точек и , то .

1. Доказать теорему о сумме внутренних углов многоугольника.

Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180  (n-2).

Доказательство. Пусть дан выпуклый многоугольник А1А2А3…Аn.

Данный n-угольник диагоналями, выходящими из одной вершины

делится на (n – 2) треугольника так, как показано на рис.

Сумма углов многоугольника состоит из суммы углов всех треугольников.

Сумма углов каждого треугольника равна 180 . Поэтому сумма углов многоугольника равна 180  (n - 2). Ч.т.д.

Следствие. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 .

Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине n-угольника составляет 180 . Следовательно, сумма всех внутренних и внешних углов n-угольника равна 180  n.

Поэтому сумма внешних углов n-угольника будет равна:

180 n - 180  (n – 2) = 360 .

Значит, сумма внешних углов n-угольниками не зависит от числа n.

1. Формулы площади треугольника, прямоугольного треугольника (без доказательства).

Любой :

Где a, b, c – стороны,

, где R – радиус описанной окружности.

, где , где r – радиус вписанной окружности.

Равнобедренный :

Прямоугольный :

Равносторонний :

Прямоугольный равнобедренный :

1. Ромб. Доказать основные свойства ромба.

 Ромб –параллелограмм, у которого все стороны равны.

Параллелограмм –четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. Пусть дан ромб ABCD, в котором AC и BD являются его диагоналями.

Докажем, что AC BD и 1= 2.

На основании свойства параллелограмма имеем: AO=OC. Треугольник ACD равнобедренный, поэтому отрезок DO является в нем биссектрисой и высотой, т.е. DO AC или AC BD и 1= 2. Аналогично доказывается, что 5= 6. Ч.т.д.

1. Осевая симметрия. Свойства осевой симметрии.

Осевая симметрияилисимметрия относительно прямой - |Sl|