Математическая постановка задачи

 Будем рассматривать двухфазный поток, состоящий из пороховых газов и совокупности горящих частиц зерненного пороха, характерный размер и концентрация которых такова, что выполняется допущение.

Дополнительно примем следующие допущения, связанные со спецификой задачи:

1) движения фаз одномерно;

2) теплоотдача к горящей поверхности зерен не учитывается (скорость движения тепловой волны в порохе равна скорости горения);

3) материал частиц несжимаем;

4) параметры газа внутри и вне пороховых элементов в данном сечении одинаковы.

При выводе квазиодномерных уравнений двухфазной реагирующей смеси мы исходили из пространственной системы уравнения движения, которые не содержат члены, характеризующие взаимодействие со стенками канала ствола [11]. Поэтому дадим краткий вывод одномерных уравнений, где такое взаимодействие учитывается. В постановку задачи должны входить уравнения, полученные на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для газа, а так же массы и количества движения для твердой фазы. В силу допущений 2), 3) уравнение энергии для твердой фазы не требуется.

Рассмотрим одномерное течение двухфазной смеси в фиксированном объеме W, определенном координатами x₁, x₂ (рис. 1.2.) и ограниченном поверхностью Σ. Как показано выше, в однородной среде объемная пористость равна поверхностной. Данное утверждение, строго говоря, не выполняется на непроницаемых поверхностях (в нашем случае боковая поверхность канала). Тем не менее, будем считать, что гипотеза сплошной среды справедлива как угодно близко к боковой поверхности канала. Тогда, не смотря на не проницаемость стенок, можно принять, что пористость среды на стенке равна объемной пористости. Очевидно, данное предположения будет выполняться тем точнее, чем сильнее неравенство ℓ/d_кн
<< 1, где ℓ- характерный размер включений. Рамки гипотезы сплошной среды предполагают также, что на боковой поверхности происходит абсолютно неупругое взаимодействие твердой фазы (имеет место условие

Рис. 1.2. схематическое представление двухфазного реагирующего потока

скольжения.

С учетом этих замечаний уравнения сохранения массы для обеих фаз внутри объема W имеют вид:

		(1.1)
		(1.2)

Уравнения импульсов каждой из фаз можно представить аналогичным образом:

	(1.3)
	(1.4)

где , – векторы сил трения газа и пороховых частиц о поверхность ствола, приходящиеся на единицу площади соответственно.

В одномерном случае силу межфазного взаимодействия, приходящуюся на единичный объем гетерогенной среды, необходимо представить так:

(1.5)

где первая составляющая обусловлена разностью скоростей между фазами, вторая – давлением газа в связи с расширением или сужением трубки тока второй фазы (рис. 1.2.).

Полная энергия смеси в объеме W изменяется за счет притока энергии извне, работы сил давления на ограничивающей поверхности Σ, притока химической энергии за счет горения пороховых зерен, теплообмена с поверхностью канала и расхода механической энергии твердой фазы за счет трения «газа частиц» о поверхности ствола. Итак,

(1.6)

где q_c – тепловой поток на поверхность канала ствола.

Последний член уравнения (1.6) записан для математической корректности. Его отсутствие при постоянной внутренней энергии твердой фазы означало бы, что работа сил трения частиц о поверхность ствола способствует повышению энергии газа, тогда как единственно возможный механизм передачи энергии между фазами – это межфазовое взаимодействие. Реально тепло, связанное с этим членом, идет на нагрев материалов ствола и пороховых частиц при соударении. Этими эффектами будем пренебрегать.

Используя теорему о градиенте:

(1.7)

 справедливую для непрерывных подынтегральных функций в W и на Σ, в одномерном случае получаем

(1.8)

где – единичный вектор в направлении оси x.

Для остальных поверхностных интегралов соответствующая теорема Гаусса–Остроградского неприменима, так как подынтегральные функции терпят разрыв при переходе на боковую поверхность ограничивающей поверхности Σ. Их можно расписать следующим образом, например:

(1.9)

Интеграл по боковой поверхности обращается в нуль, так как на стенке =0.

Полученная система уравнений содержит семь неизвестных: параметры газа  скорость твердой фазы w, пористость смеси m и относительную долю сгоревшего пороха

В практических расчетах для зерненых порохов удобно заменить уравнения неразрывности твердой фазы уравнением для счетной концетрации пороховых элементов :

(1.12)

тогда пористость смеси определится из выражения

(1.13)

1.3. Моделирование системы с присоединенной камерой подгона при использовании подхода механики гетерогенных сред

Схема с присоединённой камерой подгона позволяет повышать начальные скорости метания элементов.

Рассмотрим возможность полу­чения выигрыша в начальной скорости метания эле­мента для модельной установки с использованием присоединённой камеры подгона при неизменном максимальном давлении на дно закрытого торца ци­линдрического канала [12]. В этом случае решается задача движения метаемого элемента по цилиндрическому каналу под действием газов, образующихся при по­степенном горении топлива в двух областях.

Pис.1.3. Расчетная схема системы СПК с одной камерой подгона: I – область основного заряда; II – область камеры подгона; 1 – поршень; 2 – метаемый элемент

Разделение общей массы заряда на две части является частным случаем. Возможно рассмотрение трёх и более областей. Между двумя частями топли­ва помещается поршень. Он совершает движение по цилиндрическому каналу под действием давления газов, образующихся в результате сгорания топлива. В начальный момент времени в движение приходит вся сборка, состоящая из присоединённой камеры подго­на (поршень + заряд второй области) и метаемого элемента. Через некоторый промежуток времени t₃ (вре­мя задержки зажигания) воспламеняется заряд в при­соединённой камере подгона (назовём его присоеди­нённым), в результате давление во второй области по­вышается. В момент, когда сила сопротивления стано­вится больше силы, ускоряющей сборку, последняя разделяется: метаемый элемент отделяется и движет­ся вперёд самостоятельно, а поршень притормажива­ется. При достижении метаемым элементом конца ство­ла процесс заканчивается. Основным положительным свойством этого процесса является то, что за счёт ра­боты присоединённого заряда происходит перераспре­деление энергии: часть её идёт на дополнительное ус­корение МЭ, вследствие чего достигается выигрыш в скорости. Математическое моделирование схемы с присоединён­ной камерой подгона основано на подходе механики гетерогенных сред, модифицированном для внут­ренней баллистики ствольных систем, и проводится при следующих основных допущениях:

-      движение камеры подгона (поршень + присое­динённый заряд) и метаемого элемента начинается при достижении давления форсирования;

- начальный период для основного и присоединён­ного зарядов не учитывается;

- горение частиц пороха происходит по геометри­ческому закону;

- вязкость и теплопроводность существенны толь­ко в процессах взаимодействия фаз;

-      до момента разделения сборки частицы присое­динённого заряда неподвижны относительно сборки;

- после разделения сборки частицы присоединён­ного заряда могут выпадать на поршень; при равен­стве пористости некоторой предельной величине вбли­зи поршня частицы начинают двигаться со скоростью поршня до тех пор, пока пористость не станет выше предельной;

-    при движении элементов схемы метания (сбор­ки, затем поршня и метаемого элемента) не учитыва­ются трение и сопротивление воздуха в стволе;

- присоединённый заряд воспламеняется мгновен­но в момент времени, соответствующий времени за­держки зажигания;

Система уравнений – процессы в области I – запи­сывается в инерциальной системе координат (0, х), в области II – в неинерциальной системе координат (0, х'), связанной с поршнем. Приведём систему уравнений, которая при N= 0 описывает про­цессы в области I, а при N=1 и замене переменных и параметров на переменные и параметры со штрихом «'»(  и т.д.) – процессы в области присоединённого заряда (область II) после его воспламенения.

		(1.14)
		(1.15)
		(1.16)
		(1.17)
		(1.18)
		(1.19)
		(1.20)

где t – время; х – координата; р – давление; ρ – плот­ность; ρ₂ – плотность вещества топлива; Т – темпера­тура; T₀ – температура горения топлива; U – скорость газа; w – скорость частиц; φ – пористость; Е,ε – пол­ная и внутренняя энергия единицы объёма газа; S – площадь поперечного сечения канала; z – относитель­ная толщина сгоревшего свода; М – скорость массоприхода от горения топлива; τ_тр – сила взаимодей­ствия между фазами; N – признак системы коорди­нат; dU_n/dt-ускорение поршня; Q – тепловой эффект горения топлива; R – газовая постоянная; α – коволюм; а₁ –коэффициент в законе скорости горения; е_в – толщина горящего свода зерна топлива; п – концентра­ция; Λ₀ – начальный объём частицы топлива; Ψ(z) –относительный сгоревший объём частицы топлива; k₁, λ₁ – коэффициенты формы частиц топлива; S₀₂ – на­чальная площадь частиц топлива; σ(z) – относитель­ная горящая поверхность частицы топлива; С_х – ко­эффициент сопротивления; d_0P – диаметр шара экви­валентного по объёму частице топлива; Re – число Рейнольдса; μ – вязкость газа.

Начальные условия в области I:

T(x, 0)=TG;  P(x, 0)=Pф; U(x, 0)=w(x, 0)=0;
φ(x, 0)=φн

Для области  II:

где Δ- плотность заряжания;  f – сила топлива; Р_ф – давление форсирования; _н – начальные значения пе­ременных и параметров, _G – газа.

Граничные условия:

где х_п – координата положения левой границы поршня; х_s – координата положения дна метаемого элемента; U_п – скорость поршня; u_s - скорость метаемого элемен­та; п-параметры поршня, s-метаемого элемента.