Тема 23. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии

1. Найти методом произведений выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:

Отв.  = 76,2, D_B = 18,56.

2. Найти методом произведений выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:

Отв.  = 19,672, D_B = 0,169.

3. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n = 100:

Отв. D′_B = 42,14

4. При вычислении дисперсии распределения неравноотстоящих вариант выборка была разбита на 5 интервалов длины h = 12. Выборочная дисперсия равностоящих вариант (середин частичных интервалов) D_B = 52,4. Найти выборочную дисперсию, учитывая поправку Шеппарда.

Отв. D′_B = 40,4.

5. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n = 50:

Отв.  = 15,68, D_B = 32.

6. Найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда для предыдущей задачи.

Отв. D′_B =

7. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема n = 100:

Отв.  = 24,35, D_B = 31,83.

8. Найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда для предыдущей задачи.

Отв. D′_B = 29,75.

Проверка статистических гипотез

Тема 24. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

1. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 9 и n₂ = 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии S²_X = 34,02 и S²_Y = 12,15. При уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу H₀: D(X) = D(Y) о равенстве исправленных дисперсий при конкурирующей гипотезе D(X) > D(Y).

Отв. F_набл = 2,8; F_кр(0,01; 8; 15) = 2,64. Нулевая гипотеза отвергается.

2. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 14 и n₂ = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии S²_X = 0,84 и S²_Y = 2,52. При уровне значимости α = 0,1, проверить нулевую гипотезу H₀: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁: D(X) ≠ D(Y).

3. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 9 и n₂ = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии D_B(X) = 14,4 и D_B(Y)  = 20,5. При уровне значимости 0,1, проверить нулевую гипотезу H₀: D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁: D(X) ≠ D(Y).

4. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

а) в первом случае x₁ = 9,6; x₂ = 10,0; x₃ = 9,8; x₄ = 10,2; x₅ = 10,6;

б) во втором случае y₁ = 10,4; y₂ = 9,7; y₃ = 10,0; y₄ = 10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α = 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

5. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых n₁ = 10 и n₁ = 8. В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью [H₀: D(X) = D(Y)], если принять уровень значимости α = 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезы H1: D(X) ≠ D(Y)?

Отв. S²_u = 188,67; S²_υ = 124,84; F_набл = 1,51; F_кр (0,05; 9; 7) = 3,63. Таким образом, нет оснований считать точность станков различной.