Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

                                       (9.9)

где α – разность фаз обоих колебаний, А и В – амплитуды складываемых колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражения (9.9)параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении выражение  на  и  на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

                            (9.10)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры ого осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) . В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

y = ± (B/A) x,                                    (9.11)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m, а минус – нечетным значениям m. Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой , совершающимся вдоль прямой, составляющей с осью xугол . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями.

2) . В данном случае уравнение примет вид

                                           (9.12)

Рис. 9.6. Траектория колебаний при

Рис. 9.7. Траектория колебаний при

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от отношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 9.8 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной φ).

Использование осциллографа

а) для определения амплитуды, периода и частоты синусоидальных колебаний.

Для определения амплитуды и периода синусоидальных колебаний необходимо добиться получения на экране неподвижной картины, как это показано, например, на рис. 9.9.

На рис.9.9 амплитуда составляет 2,5 деления. Если, к примеру, переключатель 26 (рис.9.4) вольт/деление установлен на 50 мВ, то амплитудное значение напряжения на входе Х осциллографа будет равно U₀= 2,5дел.• 50 мВ/дел.=125 мВ.

Частота=1/Т=1/16,6=60 Гц.

б) для определения периода биений.

Для определения периода биений необходим двухканальный осциллограф. Для получения картины на экране осциллографа, подобной изображенной на рис.9.5, на два входа каналов Х и Y подают напряжения одинаковой амплитуды и близких частот. Далее, аналогично предыдущему пункту, определяют период биений.

в) для определения сдвига фазы.

Сдвиг фазы  двух гармонических взаимно-перпендикулярных колебаний (напряжений) можно определить методом эллипса. Для этого нужно на горизонтальную и вертикальную пластины осциллографа подать напряжения одной и той же частоты.

.                             (9.13)

г) для определения частоты колебаний по заданной частоте.

При подаче напряжений на горизонтальную и вертикальную пластины осциллографа электронный луч под влиянием двух взаимно перпендикулярных переменных напряжений будет описывать фигуры Лиссажу (рис.9.8). Они будут неподвижны, если подводимые частоты относятся как целые числа: 1:1, 1:2, 1:3, ..., 2:1, 2:3, 2:5, ...

Если частоты складываемых напряжений равны, то в зависимости от разности фаз складываемых напряжений получаются фигуры, изображенные в первой строке рис.9.8. Если напряжения изменяются при равных фазах ( ), то при различных соотношениях частот на экране получаются фигуры, изображенные на других строках рис.9.8. Учитывая, что световое

Определив соотношения частот и зная одну из них, легко определить частоту изменений второго напряжения.