Затухающие колебания физического маятника

Сила сопротивления движению шара в воздухе направлена противоположно его скорости  и зависит от  сложным образом ( [8], см. работу № 1.6). При медленном движении шара диаметром  сила сопротивления пропорциональная скорости

,                        (8.34)

где  - динамическая вязкость воздуха, 18,1 мкПа×с. Применимость этой формулы Стокса ограничена значениями числа Рейнольдса

.                                  (8.35)

При более точном рассмотрении движения жидкости вдали от шарика К. Осееном было получено следующее выражение для силы, применимое при

.                  (8.36)

При колебаниях маятника шар движется с переменной скоростью, поэтому при вычислении числа Рейнольдса в качестве скорости можно использовать среднее за полупериод, в течение которого шар движется в одном направлении

, (8.37)

где  - амплитуда линейных смещений математического маятника. Для уменьшения значений  в данной работе необходимо использовать возможно большую длину нити  и возможно меньший диаметр .

Скорость движения шара (сферы) на нити, (см. рис. 8.1),) связана с угловой скоростью

,                                       (8.38)

где вектор  направлен из точки подвеса в центр сферы. Сила сопротивления направлена противоположно вектору скорости , поэтому ее момент относительно оси вращения

.    (8.39)

С использованием математической формулы для двойного векторного произведения

,                   (8.40)

и перпендикулярности векторов  и  получим выражения для вектора момента сил сопротивления

.     (8.41)

и проекции этого момента на ось

.                           (8.42)

С учетом сопротивления воздуха уравнение (8.5) изменится

,                         (8.43)

или для малых углов  уравнение

,                      (8.44)

.                   (8.45)

Это уравнение является примером общего уравнения свободных затухающих колебаний

,                              (8.46)

со значениями параметров

,     ,      (8.47)

для математического маятника с длиной нити

, .      .   (8.48)

Решения уравнения (8.46) в случае слабого затухания,  представляют собой затухающие колебания

,                                  (8.49)

с циклической частотой

,                          (8.50)

периодом

,                  (8.51)

и убывающей по экспоненциальному закону амплитудой

.                             (8.52)

Затухающие колебания характеризуют следующие величины:

1) время релаксации  и время уменьшения амплитуды вдвое

    , ;                    (8.53)

2) декремент затухания – отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

;                           (8.54)

3) логарифмический декремент затухания

,           (8.55)

 где  - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в  раз, которое можно выразить через число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды вдвое

;                  (8.56)

4) добротность

.           (8.57)

В модели (8.47) логарифмический декремент затухания  и числа ,  являются постоянными.