Цепи переменного тока (краткая теория)

Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину или направление. В промышленности наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, то есть ток, величина которого изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Синусоидальный переменный ток имеет целый ряд преимуществ перед постоянным током, что и объясняет его использование в промышленности и в быту.

 В цепях переменного тока, кроме процессов нагрева проводов имеются дополнительные процессы, обусловленные изменяющимися магнитными и электрическими полями. Изменение этих полей оказывает влияние на величину и форму тока в цепи и может приводить к дополнительным потерям энергии. Величина и форма кривой силы тока зависят не только от параметров электрической цепи, но и от частоты и формы кривой приложенного напряжения. Поэтому анализ явлений, происходящих в цепях переменного тока, вследствие этого усложняется.

Рассмотрим электрическую цепь с последовательно включёнными катушкой индуктивностью L, конденсатора ёмкостью C и резистором с активным сопротивлением R (рис. 10.1) к источнику переменного тока, напряжение которой меняется по закону . В цепи возникает переменный ток, меняющийся по закону  где φ - сдвиг фаз между током и напряжением. При этом связь между током I_m и напряжением U_m, согласно закону Ома, будет

,          (10.1)

где  - реактивное сопротивление,  - индуктивное сопротивление,  - емкостное сопротивление,  - полное сопротивление или импеданс.

Рис.10.1. Электрическая цепь с последовательно включёнными катушкой индуктивности L, конденсатором C и резистором R

Этот ток вызывает падение напряжения на элементах цепи L, C, R:

,                         (10.2)

    ,                         (10.3)

.                       (10.4)

По второму закону Кирхгофа общее напряжение равно сумме падений напряжений на участках (элементах) цепи , и это соотношение иллюстрируется на векторной диаграмме (рис.10.2,а)). (На векторной диаграмме параметры рассматриваются как векторы, хотя знак вектора часто не ставится).

Из векторной диаграммы для сопротивлений (рис. 10.2.б)) видно, при  и . Это соответствует условию последовательного резонанса. При этом  и . Отсюда  - формула Томсона, соответствует периоду собственных колебаний контура.

а)                                                б)

Рис. 10.2. Векторные диаграммы напряжений (а) и сопротивлений (б)

Мощность в цепи переменного тока со временем меняется по закону

.

Среднее значение мощности будет определяться соотношением

,

.

Выполняя усреднение по периоду колебаний T=2π/ω

,

с учётом значений интегралов

,

,

получим

.

Таким образом, среднее значение мощности будет определяться соотношением

,                      (5)

Величины  и  соответственно называются эффективными, или действующими значениями тока и напряжения, а cosφназывается коэффициентом мощности. Большинство электроизмерительных приборов (амперметры, вольтметры) измеряют эффективные значения.

Зависимость мощности от cosφ необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи на переменном токе. Если питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление, то cosφ может быть гораздо меньше единицы.

Для более рационального использования мощности станции надо стремиться сделать нагрузку такой, чтобы cosφ = 1. Для этого достаточно обеспечить равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Однако на практике в масштабе промышленного предприятия добиться этого весьма трудно, хотя часто значение cosφ доводят до 0,9—0,95. Повышение cosφ осуществляется путём подключения конденсаторов, что не совсем выгодно. В большинстве случаев применяют электрические машины (синхронные), работающие в «ёмкостном» режиме. Повышение cosφ является важной задачей. Так, повышение cosφ в энергосистемах всего лишь на 0,01 может дать экономию электроэнергии более 500 млн. кВт·ч в год.

Выполнение работы

Электрическая схема установки показана на рис. 10.3. Параметры установки: С₁=1 мкФ, С₂=5 мкФ, С₃=10 мкФ, R=710 Ом.

Рис. 10.3. Электрическая схема установки

Выполните измерения в следующем порядке

1. Подключите миллиамперметр к соответствующим клеммам цепи (рис.10.3).

2. Включите тумблер К (загорится лампочка на передней панели )

3. Установите переключатель “Пк” в положение «1» и запишите показания миллиамперметра в таблицу 1.

4. Подключая вольтметр к клеммам «C» «L» «R», запишите показания в табл 1.

5. Подключитt вольтметр между клеммами «C» «L» и запишите показания в таблицу 1.

6. Измерьте входное напряжение U_вх.

7. Проделайте пункты 3-5 для положений переключателя «2» и «3».

8. По полученным данным для каждой системы измерений постройте векторную диаграмму напряжений. Сравните показания вольтметра в случае «C - L» с разностью показаний вольтметра на «С» и «L». Обратите внимание на знак.

9. Вычислите x_c конкретного случая по формуле

10. Вычислите полное сопротивление (импеданс) Z.

11.  Исходя из полученных данных и векторной диаграммы вычислите индуктивность дросселя L (Гн)

.

(преобразуйте векторную диаграмму по напряжениям в векторную диаграмму по сопротивлениям (рис.10.2))

12.  Из полученных результатов определите значение cosφ (каков знак + или -). Объясните результат.

13.  Вычислите мощность  (Вт). Для каждого из полученных значений мощности рассчитайте относительную погрешность ε.

Таблица 10.1

Контрольные вопросы

1. При каком сердечнике активное сопротивление катушки будет большим: при сплошном металлическом или набранном из изолированных металлических пластин? Объяснить ответ.

2. Чему равняется сдвиг фаз между током и напряжением, если цепь состоит из:
а) чисто активного сопротивления?
б) чисто индуктивного сопротивления?

3. Когда наблюдается резонанс? Используя результаты экспериментов, определить частоту резонанса.

Лабораторная работа № 2. 11
СТОЯЧие ВОЛНЫ и ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В воздухе

Цель работы: определение скорости звука в воздухе методом стоячих волн и определение отношения удельных теплоемкостей .

Приборы и принадлежности: лабораторная установка с микрофоном и телефоном, генератор сигналов низкочастотный ГЗ – 109, осциллограф АСК-1011.

Литература:[1-5]

План работы:

3. Изучение свойств звуковых волн.

4. Изучение свойств звуковых волн в газах.

5. Изучение свойств стоячих волн.

6. Описание экспериментальной установки и выполнение работы.

Звуковые волны

Звук – это распространяющееся в виде волн колебательное движение частиц упругой среды: газообразной, жидкой или твердой. Органы слуха человека способны воспринимать звук с частотой от 16 Гц до 10-20 кГц. Звук с частотой ниже слышимого диапазона называется инфразвуком, с частотой выше – ультразвуком. Самые высокочастотные упругие волны в диапазоне от 10⁹ Гц (в газах) до 10¹³ Гц (в твердых телах и жидкостях) относятся к гиперзвуку. Верхний предел частот гиперзвуковых волн определяется атомным и молекулярным строением сред: в газах длина упругой волны должна быть больше длины свободного пробега молекул, а в жидкостях и твердых телах – больше удвоенного межмолекулярного или межатомного расстояния.

Источниками звука могут быть любые явления, вызывающие возмущение упругой среды, то есть местное отклонение давления или механического напряжения от равновесного значения или локальные смещения частиц от положения равновесия. В звуковых излучателях для этого часто используются колебания твердых тел – мембраны телефонов, струны музыкальных инструментов и т.д. В природе звук возбуждается при обтекании твердых тел потоком воздуха за счет образования и отрыва вихрей. Источниками звука являются голосовые аппараты человека и животных. Схема телефона (динамика), работа которого основана на взаимодействии электромагнита и стальной пластинки (мембраны), показана на рис. 11.1. В телефонном капсюле находится стальная пластина — мембрана. Под ней — дугообразный намагниченный стержень, на который насажены две соединенные последовательно катушки из большого количества тонкого эмалированного медного провода.

Рис. 11.1. Устройство телефона (динамика)

Концы катушек соединены с наружным шнуром для подключения к звуковоспроизводящей аппаратуре. Под действием постоянного магнита мембрана прогибается в середине (рис. 11.1, б, сплошная линия), не соприкасаясь со стержнем. Электрический ток, текущий через катушки, в зависимости от направления может усилить намагниченность стержня или ослабить. При этом мембрана прогибается сильнее (нижняя пунктирная линия) или слабее (верхняя пунктирная линия), чем при отсутствии тока. Если через катушки пропустить ток переменной силы и направления, то в такт изменениям тока мембрана будет совершать движения в ту или иную сторону по сравнению с первоначальным положением. Такие колебания мембраны вызывают смещения малых объемов воздуха, примыкающих к мембране, приводящие к возмущению давления воздуха и генерации звука.

Приемники звука преобразуют энергию звуковых волн в другие формы энергии. В природе приемниками звука являются слуховые аппараты человека и животных, в технике – электроакустические преобразователи: микрофоны в воздухе, гидрофоны в воде, геофоны в земной коре. Устройства, предназначенные для преобразования звуковых колебаний в электрические колебания, называются микрофонами (от греч. mikros — малый и phone-звук). Существует несколько видов микрофонов, отличающиеся друг от друга по принципу действия: электромагнитные, конденсаторные, пьезоэлектрические и другие. Практически во всех микрофонах имеется подвижный элемент (диафрагма, мембрана), способный колебаться под воздействием звукового давления. В зависимости от того, каким образом формируется результирующая сила, воздействующая на подвижную систему, все микрофоны подразделяются на приёмники давления, градиента давления и комбинированные приёмники. В приёмниках давления звуковое поле действует на подвижную систему с одной стороны; результирующая сила в этом случае не зависит от направления прихода звуковой волны и микрофон, при условии, что его размеры малы по сравнению с длиной волны, не обладает направленностью. Примером такого электромагнитного катушечного микрофона является уже рассмотренный телефон (см. рис. 1.11). Звуковое давление, действуя на мембрану такого микрофона, заставляет ее колебаться. Мембрана, прогибаясь ближе к полюсам магнита, уменьшает воздушный зазор между ними. При этом уменьшается магнитное сопротивление магнитопровода, образованного из подковообразного магнита и мембраны; а индукция магнитного поля растет. При выпрямлении мембраны воздушный зазор увеличивается, сопротивление магнитопровода растет, а индукция магнитного поля уменьшается. Магнитное поле, изменяющееся в такт колебаний мембраны, в катушках возбуждает переменную ЭДС.

Среди используемых микрофонов наиболее высокими электро-акустическими параметрами обладают конденсаторные микрофоны. Они имеют тонкую мембрану, являющуюся одновременно одной из обкладок плоского конденсатора. Второй обкладкой конденсатора служит массивный неподвижный электрод с отверстиями, которые делаются в нём для обеспечения необходимых диссипативных свойств воздушного зазора между электродами. С помощью источника постоянного напряжения  в рабочем зазоре конденсатора создаётся электрическое поле. При колебаниях мембраны под воздействием звуковых волн ёмкость конденсатора меняется и через сопротивление нагрузки протекает разрядно-зарядный ток, создающий на сопротивлении напряжение сигнала , повторяющего по форме акустический сигнал.

Звуковые волны в газах

Совокупность пространственно-временных распределений величин, характеризующих звук, называется звуковым полем. При достаточно гладкой зависимости характеристик звукового поля (например, при отсутствии скачков давления) задание одной из величин, например давления, полностью определяет все остальные. Для описания звукового поля используются те же математические операции, что и для описания электрических и магнитных полей – градиент и дивергенция (см. работу 2.1).

Звуковые волны в жидкостях и газах в отсутствии внешних сил описываются основными уравнениями гидродинамики и акустики: уравнением непрерывности

     ,                                (11.1)

и уравнением Эйлера (для трех компонент вектора скорости )

,                     (11.2)

где  - плотность,  - скорость жидкости или газа,  - давление в них, основные сведения о дифференциальных операциях дивергенции ( ) и градиенте ( , ) приведены в работе 2.1. Для продольных волн, распространяющихся вдоль прямой (оси Ох)

, ,           (11.3)

где  - единичный вектор вдоль оси Ох, и система уравнений (11.1), (11.2) примет вид

,                                    (11.4)

.                        (11.5)

    Уравнения (11.1), (11.4) являются следствием закона сохранения массы вещества, а уравнения (11.2), (11.5) – следствие второго закона Ньютона. Убедимся в этом на примере звуковых волн, распространяющихся вдоль оси Ох с , , , . Рассмотрим элемент объема в виде куба с ребрами , параллельными осям координат (см. рис. 11.2, подобный рис. 1.5 из работы 2.1).

Рис. 11.2. Применение закона сохранения массы для одномерного течения газа

Объем куба на рис. 11.2 , площадь каждой грани . За время  с потоком частиц среды, движущихся со скоростью , через левую грань входит приток массы , а через правую грань выходит отток массы . Изменение массы в объеме куба, равное , представляет собой полный поток вектора плотности потока частиц  через поверхность куба. Изменение плотности газа в объеме куба равно

. (11.6)

Напомним (см. работу 2.1), что отношение потока вектора  через замкнутую поверхность к объему  внутри нее при  называется дивергенцией вектора

,                   (11.7)

где  - составляющие вектора , направленные вдоль нормали к граням куба. Скорость изменения плотности со временем равна

,

отсюда и следуют уравнения (11.1), (11.3).

    При аналогичном рассмотрении изменения со временем проекции на ось Ох импульса  частиц среды, находящихся в объеме куба, получается уравнение (11.5).

    Уравнения (11.1), (11.2) дополняются уравнением состояния жидкости или газа, связывающим плотность с давлением

.                          (11.8)

Система трех уравнений (11.4), (11.5), (11.11) позволяет найти три неизвестные величины:  .

Применим уравнения гидродинамики к адиабатическому процессу распространения звука в газе. Уравнением состояния служит адиабата Пуассона[10]

, .                 (11.9)

где  и  – начальная плотность и начальное давление,  и  – теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме.

Относительное изменение плотности газа равное

,                     (11.10)

называется акустическим сжатием (или конденсацией) газа, при этом плотность газа равна

.                              (11.11)

Звуковым давлением называется переменная часть давления – отличие от среднего (статического) давления

                                          (11.12)

При малых колебаниях газа и пренебрежении вторыми и высшими степенями относительного изменения плотности , скоростей и градиентов скоростей из уравнений (11.4), (11.5), (11.9), получаются уравнения

, .                   (11.13)

,                    (11.14)

.                   (11.15)

где введено обозначение

.                          (11.16)

Взаимосвязанная система двух уравнений (11.14), (11.15) для двух функций – акустического сжатия  и скорости газа  описывает их согласованные колебательные изменения. Подтвердим это с помощью математических преобразований. Дифференцирование первого уравнения (11.14) этой системы по времени , а второго уравнения (11.15) по координате  и исключение смешанной второй производной  приводит к так называемому волновому уравнению

.                        (11.17)

В неограниченном пространстве его решениями являются произвольные звуковые волны вида

,   ,            (11.18)

распространяющиеся со скоростью  соответственно в положительном и отрицательном направлении оси Ох, где скорость звука[11]  дается выражением

.                         (11.19)

Периодические изменения (возмущения) давления  и плотности , распространяющиеся в газах называют звуковыми волнами. Благодаря воздействию возмущений давления на органы слуха (барабанную перепонку уха человека и т.д.) люди и животные чувствуют и различают звуки. Примерами таких волн являются плоские волны, распространяющейся вдоль оси Ох:

,  (11.20)

где A – амплитуда, w – циклическая (угловая) частота колебаний,  – фаза волны в точках , l – длина волны,  - волновое число

.                      (11.21)

Скорость звука (11.19) зависит от температуры газа. Действительно, при постоянном давлении

,                               (11.22)

где  - плотность газа при температуре ,  - абсолютная температура,  - масса газа. Для одного моля газа с молярной массой M вследствие уравнения Менделеева-Клапейрона

,                      (11.23)

где  - универсальная газовая постоянная,  - объем одного моля, следовательно, скорость звука в газе

.                  (11.24)

    Вследствие уравнения (11.15) скорость одномерного колебательного движения среды связана с давлением формулой

,                    (11.25)

Результирующий вид звукового поля определяется:

а) волновым уравнением (11.22) в одномерном случае и аналогичным трехмерным уравнением

.                          (11.26)

здесь  - оператор Лапласа;

б) граничными условиями, например, на абсолютно жесткой границе нормальная компонента  колебательной скорости  должна обращаться в ноль, на свободной поверхности должно обращаться в ноль звуковое давление ;

в) начальными условиями и внешними воздействиями.

Стоячие волны

    В ограниченных объемах частными решениями волнового уравнения (11.26) являются стоячие волны*. Для трубы длиной  изменение давления в стоячей волне описывается общим выражением

,    (11.27)

Точки, в которых

, (11.28)

и возмущение давления отсутствует, , называются узлами звукового давления. Точки, в которых значение модуля  максимально и максимальна амплитуда колебаний возмущения  со временем, называются пучностями звукового давления. В соответствии с формулой (11.25) скорость в стоячей волне будет даваться выражением

,   (11.29)

Расположение узлов и пучностей давления и скорости в трубе зависит от граничных условий на ее концах. Если конец трубы закрыт, то есть представляет собой твердую непроницаемую стенку , то нормальная составляющая скорости равна нулю

.                           (11.30)

Это граничное условие вместе с уравнением (11.12) приводит к условиям

.                           (11.31)

Для трубы с закрытым концом с граничными условиями (11.30), (11.31) на конце с координатой  удовлетворяют функции

       (11.32)

,    (11.33)

Если второй конец трубы длиной  также закрыт, т.е. в точке  должны снова выполняться условия (11.30), (11.31):

, ,     (11.34)

то должно выполняться условие

, .        (11.35)

С учетом выражения (11.21)

,                 (11.36)

длины волн  в данном случае могут принимать значения

,            (11.37)

Возможные значения частот  стоячих волн в трубе

, ,  (11.38)

называются собственными частотами. Уравнения стоячих волн (11.32), (11.33), (11.35) показывают, что на закрытых концах трубы всегда образуются узлы скорости (рис. 11.3) и пучности давления (рис. 11.4).

а                                                           б

Рис. 11.3. Скорость в стоячей волне в трубе длиной  с двумя закрытыми концами, на которых образуются узлы скорости: а) мгновенный профиль волны; б) профили волны в различные моменты времени, узлы скорости обведены кружками.

а                                                           б

Рис. 11.4. Давление в стоячей волне (той же, что и на рис. 11.3) в трубе длиной  с двумя закрытыми концами, на которых образуются пучности давления: а) мгновенный профиль волны; б) профили волны в различные моменты времени, узлы давления обведены кружками.

    Если в одном из концов трубы находится излучатель (телефон), с диаметром малым по сравнению с диаметром трубы, то граничные условия будут теми же, что и для полностью жесткой границы – (11.30), (11.31). Для конца с приемником (микрофоном), диаметр которого также мал по сравнению с диаметром трубы будут также выполняться граничные условия (11.30), (11.31). Расстояние между двумя соседними узлами (где ) или пучностями (где возмущения  максимальны) равно , т.е. половине длины бегущей волны l.

    При изменении частоты возбуждения, стоячие волны в закрытой трубе будут образовываться всякий раз, когда выполнено условие (11.37). Измерение расстояния  между соседними пучностями позволяет определить скорость звуковых волн. Скорость звука определится по формуле

,                            (11.39)

где n – частота колебаний столба воздуха в трубе.