Сложение двух колебаний одного направления

И одинаковых или близких частот

Сложим два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты.

                                  (9.2)

Используя метод векторных диаграмм, получим уравнение результирующего колебания

                           (9.3)

где амплитуда А и начальная фаза φ соответственно задаются соотношениями

(9.4)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ – φ₁) складываемых колебаний.

Проанализируем значение амплитуды А в выражении (9.4) в зависимости от разности фаз (φ₂ – φ₁):

1) φ₂ – φ₁ = ± 2mπ (m = 0, 1, 2, …), тогда А = А₁ + А₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ – φ₁ = ± (2m + 1)π (m = 0, 1, 2, …), тогда А = |А₁ – А₂|, т.е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω + Δω, причем Δω << ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

                                (9.5)

Складывая эти выражения и учитывая, что Δω/2 << ω, найдем

                                 (9.6)

Результирующее колебание (9.6) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А_б которого изменяется по следующему периодическому закону:

                                         (9.7)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

ω_б = Δω.

Период биений

Т_б = 2π /Δω.                                       (9.8)

Характер зависимости (9.6) показан на рис.9.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (9.6), а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (9.7) амплитуды.

Определение частоты тона биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Рис. 9.5. Биения