Дивергенция и ротор векторного поля

Определение дивергенции выглядит так:

,

где  — поток векторного поля  через сферическую поверхность площадью , ограничивающую объем .

Более общим является определение, когда форма области с поверхностью  и объемом  допускается любой. Единственное требование – нахождение поверхности внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю, – не привязано к определенным координатам. Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трехмерном декартовом пространстве дивергенция поля  будет определяться выражением:

                     .

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла: .

Многомерная, а также двумерная и одномерная дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

– точка поля является источником;

– точка поля является стоком;

– стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причем на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Еще одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). В такой модели родники, бьющие из дна озера, будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру  плоской площадки , перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.                       (1.14)

Нормаль  к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру  совершался против часовой стрелки.

В трехмерной декартовой системе координат ротор вычисляется следующим образом:

.

Когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

1.15. Дивергенция вектора  магнитного поля

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора  не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора  через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности  имеет место условие:

.

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что

.

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема . Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, дивергенция вектора  всюду равна нулю:

.                       (1.15)

Получили теорему Гаусса для поля  в дифференциальной форме.

Закон (1.15) является фундаментальным: он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.