Понятие дискретизации, арифметические операции с числами фиксированной и плавающей запятой

Информация может быть представлена в аналоговой (непрерывной) и дискретной форме. При аналоговом представлении физическая величина принимает бесконечное множество значений и ее значения изменяются непрерывно. При дискретном представлении физическая величина принимает конечное множество значений и ее величина изменяется скачкообразно.

Для обмена информацией человек использует естественные языки. В основе языков лежит алфавит, т.е. набор символов (знаков), которые человек отличает по начертанию.

Последовательности символов алфавита в соответствии с правилами грамматики образуют основные объекты языка - слова. Правила, согласно которым образуются предложения из слов данного языка, называются синтаксисом языка.

Наряду с естественными языками существуют формальные языки- системы счисления, язык алгебры, языки программирования и др. Основное отличие формальных языков от естественных состоит в наличии строгих правил грамматики и синтаксиса.

Процесс преобразования информации из одной формы представления в другую называется кодированием. Для ЭВМ используют двоичное кодирование (binaryencoding), основой которой является двоичная система счисления.

Общая формула для объема кодируемой информации имеет вид: N = 2^m

где N -  количество независимых кодируемых значений;

m - разрядность двоичного кодирования.

Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно 8 разрядов двоичного кода (8 бит):

0000 0000 = 0

0000 0001 = 1

……………..

1111 1111 = 255

Последовательностью битов можно закодировать текст, изображение, звук и любую иную информацию.

Для кодирования действительных чисел требуется предварительная нормализация, что означает произвольное действительное число Хприводится к виду X = ±m*10^±p, где m - мантисса, р – порядок числа; при этом мантисса должна быть меньше 1, а первая значащая цифра отличной от нуля. Например, 3,14159 = 0,314159*10¹; 123456789 = 0,123456789*10⁹ и т.д.).

Для отображения на компьютере символов русского алфавита используются стандартные кодировки КОИ8-Р, Windows-1251, ГОСТ-альтернативная.

Для цифрового представления графической информации используют два способа: растровый и векторный. Растровые изображения представляют собой однослойную сетку точек, называемых пикселями (pixel от англ. pictureelement). Код каждого пикселя содержит информацию о его цвете.

Дискретизация (оцифровка) - это преобразование непрерывного изображения и звука в набор дискретных значений в форме кодов, т.е. разбиения непрерывного сигнала на отдельные элементы. Устройство, выполняющее его – аналого-цифровым преобразователем (АЦП). В процессе дискретизации производится кодирование, т.е. присвоение каждому элементу конкретного значения в виде кода.

Кодирование звука основано на его преобразовании в электрические сигналы (например, с помощью микрофона) с последующим представлением в виде последовательности двоичных чисел.

Примером аналогового хранения звуковой информации является виниловая пластинка (звуковая дорожка изменяет свою форму непрерывно), а дискретного - аудиокомпакт-диск.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех битах хранится единица. Для n-разрядного числа оно будет равно 2ⁿ-1. Диапазон изменения целых неотрицательных чисел: от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов), причем старший (левый) разряд (бит) отводится под знак числа. Если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное - 1.

Представление в ПК положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 15₁₀=1111₂ будет представлено в 16- разрядном представлении следующим образом:

Максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда под знак числа) для целых чисел со знаком в n- разрядном представлении равно:

A = 2^n-1-1

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код, который позволяет заменить операцию вычитания операцией сложения.

Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n-ячейках, равен 2ⁿ-½A½. Дополнительный код представляет собой дополнения модуля отрицательного числа А до 0, т.к. в n- разрядной арифметике:

2ⁿ-½A½+½A½=0

Для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо:

1) модуль числа записать в прямом коде в n двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу.

Запишем дополнительный код отрицательного числа –15 для 16- разрядного представления:

[A]_пр= 1000000000001111

[A]_обр= 1111111111110000

[A]_доп= 1111111111110001

В дополнительном коде старший разряд выделяется для хранения знака числа. Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является небольшой диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Любая информация в компьютере представляется в виде бинарных кодов фиксированной или переменной длины.

В ЭВМ применяются две формы представления чисел с:

1) фиксированной точкой, когда положение точки фиксируется перед старшим или после младшего (½A½>1) разрядов числа.

n-1 n-2 … … j  …  2   1  0   . (точка)

2) плавающей точкой, в общем виде представление числа имеет вид: A=S^pM,

где М - мантисса, s - основание системы счисления, а р- порядок

 (n+k+1) (n+k) .. .. .. .. .. (n+1) n .. .. .. .. 2 1 0

Для единообразия представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n<=½m½<1

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Преобразуем десятичное число 555,55, записанное в естественной (с фиксированной запятой) форме, в экспоненциальную форму (с плавающей запятой) с нормализованной мантиссой:

555,55 = 0,55555 * 10³

Здесь нормализованная мантисса: m = 0,55555, порядок: p = 3.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти 4 байта (число обычной точности) или 8 байтов (число двойной точности).

Аппарат булевой алгебра был создан в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами. И в настоящее время булева алгебра является основным средством анализа, разработки и описания структурно - функциональной архитектуры современной вычислительной техники.

Схемы вычислительных устройств можно условно разделить на три группы: исполнительные, информационные и управляющие. Исполнительные схемы производят обработку информации, представленной в бинарной форме. Информационные схемы служат для передачи бинарной информации. Управляющие схемы выполняют управляющие функции, генерируя соответствующие сигналы. Во всех случаях используются сигналы двух различных уровней, которые могут представляться бинарными символами (0,1) или логическими значениями Истина (true), Ложь (false).

Базовыми булевыми операциями являются операции И (AND), ИЛИ (OR), НЕ (NOT) (таблица 2.3). Операция И (AND) называется конъюнкцией (логическимумножением), операция ИЛИ (OR) называется дизъюнкцией (логическим сложением), НЕ (NOT) называется инверсией (логическим отрицанием):

 Таблица 2.3 Базовые булевы операции

Элементарные логические схемы, используемые при создании средств ВТ, называются вентилями. В настоящее время существует целый ряд базовых вентилей, на основе которых строится современная ЭВМ. Набор логических операций {И, ИЛИ, НЕ} является универсальным, т.е. на его основе можно представлять любую логическую функцию, то соответствующий ему набор вентилей также будет универсальным: