Системы счисления, методы перевода и формы представления чисел

Для отображения количественных характеристик описываемых объектов и последующей обработки этой информации были изобретены специальные знаки (цифры) и приемы их комбинирования.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр. В любой системе имеется ряд символов, называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определенных математических операций.

Системы счисления различаются набором базисных цифр, правилами образования из них чисел и выделяются два больших класса – непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская системы счисления, в которой в качестве цифр используются латинские буквы I, V, X, L, C, D, M в любой позиции обозначающие соответственно 1,5,10,50,100,500,1000.

В позиционных системах счисления значение любой базисной цифры зависит от ее места в записи числа, называемой позицией, а количество используемых базовых цифр – основанием системы счисления.

Привычной является индо-арабская десятичная системы счисления, в которой для записи любого числа используется 10 базисных цифр (от 0 до 9). Эта система основана на том, что десять цифр каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555₇ – число, записанное в семеричной системе счисления. Число записанное в десятичной системе, основание не указывается.

Произвольное число Х в системе с основанием Р может быть представлено как X=a_nPⁿ+a_n-1P^n-1+…+a₁P¹+a₀P⁰+a_-1P^-1+…+a_-mP^-m+…, где a_i - цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035₁₀ = 1*10³+0*10²+3*10¹+5*10⁰;                        1010₂ = 1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰ = 10.

Все позиционные системы счисления принципиально ничем не отличаются от привычной нам десятичной и обладают существенными преимуществами перед непозиционными:

- в них любое целое число записывается с помощью некоторых символов, каждый из которых в зависимости от занимаемого места имеет разное значение: в одном случае он означает число сотен, в другом – число десятков.

- в позиционных системах правила выполнения арифметических операций намного проще, всегда осуществляются по одной и той же схеме и требуют знания таблиц сложения и умножения только однозначных чисел.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. В 1673 г. Лейбниц предложил использовать двоичную систему в качестве универсального логического языка, удобную систему, позволяющая использовать очевидные технические и математические преимущества:

- аппаратная реализации позволяет применять физические элементы в 2-х возможных состояниях;

- представление информации с помощью только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво;

- возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований;

- двоичная арифметика проще десятичной.

В двоичной системы счисления для отображения числа используются только два символа: 0 и 1, называемые двоичными цифрами. Произвольное число Х в этой системе представляется суммой a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₁*2¹+a_-1*2^-1+…+a_-m*2^-m+…, где каждый коэффициент a_i равен 0 или 1. Запись числа в двоичном виде намного длиннее его записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются правилам, что и в десятичной, перенос единиц в старший разряд возникает чаще.

Таблица умножения: 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1.

Таблица сложения в двоичной системе: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=0; 1+1=0 (перенос единицы в старший разряд).

В восьмеричной системы счисления базисными числами являются 0,1,2,,3,4,5,6,7. Например, десятичное число 85 в восьмеричной системе равно 125, т.к. 85 = 1*8² + 2*8¹ + 5.

В информатике чаще применяют компактную шестнадцатеричную систему, где для записи чисел используют десять арабских цифр (от 0 до 9) и шесть первых букв латинского алфавита (A,B,C,D,E,F,). Например, десятичное число 191,5 в этой системе будет записано в виде BF.8; действительно, 11*16¹+15*16⁰+8*16^-1=176+15+8/16=191,5.

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. Компьютеры для выполнения арифметических и логических операций, хранения команд и данных используют двоичную систему. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяют для более компактной двоичной записи и при некоторых специальных форматах представления чисел (таблица 2.1).

Таблица 2.1 Таблица двоичных и шестнадцатиричных кодов

Одна из важных задач информатики – измерение объема информации, представленной в электронной форме. Элементарной единицей представления данных в ЭВМ является 1 двоичный разряд, называемый битом (bit, binarydigit - двоичная цифра). Элементарной единицей обработки информации является байт, равный 8 битам (не считая служебных битов). Если 1 бит информации позволяет выбрать один вариант из 2-х возможных, то 1 байт 1 из 256 (2⁸). Так как традиционные таблицы кодировки символов содержат 256 элементов, то 1 байт можно считать равным 1 символьной информации, что позволяет связать измерение информации в двоичных разрядах с привычным ее измерением через количество символов текста.

Более крупная единица измерения информации – 1 Кбайт = 210 байт = 1024 байт. В килобайтах измеряют сравнительно небольшие объемы данных; нередко возникает потребность в более крупных единицах измерения (таблица 2.2).

Таблица 2.2 Единицы измерения информации

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464₍₁₀₎; б) 380,1875₍₁₀₎; в) 115,94₍₁₀₎ (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

3 | 1 2 | 0

1 | 1 1 | 1

а) 464₍₁₀₎ = 111010000₍₂₎; б) 380,1875₍₁₀₎ = 101111100,0011₍₂₎; в) 115,94₍₁₀₎ 1110011,11110» ₍₂₎ (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 2³). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11₍₂₎.

001111010101,110₍₂₎ = 1725,6₍₈₎.

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11₍₂₎.

001111010101,1100₍₂₎ = 3D5,C₍₁₆₎.

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

а) 1000001₍₂₎.

1000001₍₂₎ 2×=1⁶ 2×+0⁵ 2×+0⁴ 2×+0³ 2×+0² 2×+ 0¹ 2×+1⁰ = 64+1=65₍₁₀₎.

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101₍₂₎.

1000011111,0101₍₂₎2×=1⁹2× + 1⁴2× + 1³2× + 1²2× + 1¹2× + 1⁰2× + 1^-22× + 1^-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125₍₁₀₎.

в) 1216,04₍₈₎.

1216,04₍₈₎8×=1³8×+2²8×+1¹8×+6⁰ 8×+4^-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625₍₁₀₎.

г) 29A,5₍₁₆₎.

29A,5₍₁₆₎16× = 2²16×+9¹16×+10⁰16×+5^-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125₍₁₀₎.

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

3. Сложить числа:
а) 10000000100₍₂₎ + 111000010₍₂₎ = 10111000110₍₂₎.
б) 223,2₍₈₎ + 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎.
в) 3B3,6₍₁₆₎ + 38B,4₍₁₆₎ = 73E,A₍₁₆₎.

10000000100 223,2 3B3,6

+ 111000010 + 427,54 +38B,4

------------ ------- -----

10111000110 652,74 73E,A

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

а) 10000000100₍₂₎2×=1¹⁰ 2×+1² = 1024+4=1028₍₁₀₎

111000010₍₂₎2×=1⁸2×+ 1⁷2×+ 1⁶2×+ 1¹ = 256+128+64+2 = 450₍₁₀₎

10111000110₍₂₎2×=1¹⁰2×+ 1⁸2×+ 1⁷2×+ 1⁶2×+ 1²2×+ 1¹ = 1024+256+128+64+4+2 = 1478₍₁₀₎

1028₍₁₀₎+450₍₁₀₎ = 1478₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!

б) 223,2₍₈₎8×=2²8×+ 2¹8×+ 3⁰8×+ 2^-1 = 128+16+3+0,25 = 147,25₍₁₀₎

427,54₍₈₎8×= 4²8×+ 2¹8×+ 7⁰8×+ 5^-18×+ 4^-2 = 256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875₍₁₀₎

652,74₍₈₎8×= 6²8×+ 5¹8×+ 2⁰8×+ 7^-18×+ 4^-2 = 384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375₍₁₀₎

147,25₍₁₀₎+279,6875₍₁₀₎ = 426,9375₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!

в) 3B3,6₍₁₆₎16×= 3²16×+ 11¹16×+ 3⁰16×+ 6^-1 = 768+176+3+0,375 = 947,375₍₁₀₎

38B,4₍₁₆₎16×= 3²16×+ 8¹16×+ 11⁰16×+ 4^-1 = 768+128+11+0,25 = 907,25₍₁₀₎

73E,A₍₁₆₎8×= 7²8×+ 3¹8×+ 14⁰8×+ 10^-1 = 1792+48+14+0,625 = 1854,625₍₁₀₎

947,375₍₁₀₎+907,25₍₁₀₎ = 1854,625₍₁₀₎

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!

4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011₍₂₎ - 101010111,1₍₂₎ = 110101011,111₍₂₎.
б) 1510,2₍₈₎ - 1230,54₍₈₎ = 257,44₍₈₎.
в) 27D,D8₍₁₆₎ - 191,2₍₁₆₎ = EC,B8₍₁₆₎.

1100000011,011 1510,2 27D,D8

- 101010111,1 -1230,54 -191,2

-------------- ------- ------

110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение:
а) 100111₍₂₎ 1000111 ´ ₍₂₎ = 101011010001₍₂₎.
б) 1170,64₍₈₎ 46,3 ´ ₍₈₎ = 57334,134₍₈₎.
в) 61,A₍₁₆₎ 40,D ´ ₍₁₆₎ = 18B7,52₍₁₆₎.

100111 1170,64 61,A

*1000111 * 46,3 *40,D

------------- -------------- ----------

100111 355 234 4F 52

+ 100111 + 7324 70 + 1868

100111 47432 0 ----------

100111 ------------- 18B7,52

------------- 57334,134

101011010001

6. Выполнить деление:
а) 100110010011000₍₂₎ : 101011₍₂₎=111001000₍₂₎;
б) 46230₍₈₎ : 53₍₈₎=710₍₈₎;
в) 4C98₍₁₆₎ : 2B₍₁₆₎=1C8₍₁₆₎.

Задание 1.
Дано А=A716, B=2518. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A 1) 101011002
2) 101010102
3) 101010112
4) 101010002
Решение:
Переведём числа А=A716 и B=2518 в двоичную систему счисления, заменив каждую цифру первого числа соответствующей тетрадой, а каждую цифру второго числа – соответствующей триадой: A716= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.
Условию A Ответ: 101010002 (вариант 4).
Задание 2.
Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 3?
Решение:
Переведём число 35710 в троичную систему счисления:
Итак, 35710 = 1110203. Число 1110203 содержит 6 значащих цифр.
Ответ: 6.
Задание 3.
На какую цифру оканчивается запись десятичного числа 123 в системе счисления с основанием 6?
Решение:
Переведём число 12310 в систему счисления с основанием 6:
12310 = 3236.
Ответ: Запись числа 12310 в системе счисления с основанием 6 оканчивается на цифру 3.
Задания на выполнение арифметических действий над числами, представленными в разных системах счисления
Задание 4.
Вычислите сумму чисел X и Y, если X=1101112, Y=1358. Результат представьте в двоичном виде.
1) 110101002 2) 101001002 3) 100100112 4) 100101002
Решение:
Переведём число Y=1358 в двоичную систему счисления, заменив каждую его цифру соответствующей триадой: 001 011 1012. Выполним сложение:
Ответ: 100101002 (вариант 4).
Задание 5.
Найдите среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102. Ответ представьте в десятичной системе счисления.
Решение:
Переведём числа 2368, 6С16 и 1110102 в десятичную систему счисления:
Вычислим среднее арифметическое чисел: (158+108+58)/3 = 10810.
Ответ: среднее арифметическое чисел 2368, 6С16 и 1110102 равно 10810.
Задание 6.
Вычислите значение выражения 2068 + AF16 − 110010102. Вычисления производите в восьмеричной системе счисления. Переведите ответ в десятичную систему.
Решение:
Переведём все числа в восьмеричную систему счисления:
2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128
Сложим числа:
Переведём ответ в десятичную систему:
Ответ:51110.

Задания на нахождение основания системы счисления

Задание 7.
В саду 100q фруктовых деревьев: из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 17q вишен. Найдите основание системы счисления, в которой посчитаны деревья.
Решение:
Всего в саду 100q деревьев: 100q = 33q+22q+16q+17q.
Пронумеруем разряды и представим данные числа в развёрнутой форме:
Ответ: Деревья посчитаны в системе счисления с основанием 9.
Задание 8.
В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Решение:
Примем за х основание неизвестной системы счисления и составим следующее равенство:
1810 = 30x;
Пронумеруем разряды и запишем данные числа в развёрнутой форме:
Ответ: десятичное число 18 записывается в виде 30 в системе счисления с основанием 6.
Задание 9.
Найдите основание x системы счисления, если известно, что 2002x = 13010.
Решение:
Пронумеруем разряды и запишем данные числа в развёрнутой форме:
Ответ:4.

Практическая часть

Перевод чисел в десятичную систему счисления и обратно

1. Переведите в десятичную систему счисления: 221₃; 120₇; 34,1₅; E41A,12₁₆.

2. Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить 6 значащих цифр (с учетом округления): 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876.

3. Десятичное число 10,2 перевели в восьмеричную систему счисления. Определить 1998 цифру после запятой.

4. Число 25341 записано числами восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной систем счисления. Найти его десятичное значение.

5. Перевести десятичные дроби в восьмеричную систему счисления. В восьмеричной записи числа сохранить 6 значащих цифр (с учетом округления): 0,555; 0,333; 0,1213; 0,453.

6. Запишите десятичный эквивалент числа 10101, если считать его написанным во всех системах счисления – от двоичной до девятеричной включительно.

7. Перевести число 123,7030125 из десятичной в восьмеричную систему счисления, сохранив 4 знчащих цифры после запятой (с учетом округления).

8. Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В ответе сохранить 6 значащих цифр после запятой (с учетом округления): 0,8455; 0,225; 0,1234; 0,455.

9. В каких системах счисления справедливы равенства: 2*2=10; 2*3=11; 3*3=13?

10. Перевести десятичное число 315, 1875 в восьмеричную и 16-ричную системы счисления. Сделать проверку обратным переводом.

11. 25; 63; 19,2; 58394,0703125.

12. 0,10101; 0,010101; 0,100111; 0,111111.

13. 10,2₁₀=12,(1463)₈. В периоде 4 цифры. Разделив 1998 на 4, получим в остатке 2. Значит, 1998 цифра после запятой равна 4.

14. 25341₆=3805₁₀; 25341₈=10977₁₀; 25341₁₆=152385₁₀.

15. 0,434122; 0,252375; 0,076066; 0,347737.

16. 10101₂=21₁₀; 10101₃=91₁₀; 10101₄=273₁₀; 10101₅=651₁₀; 10101₆=1333₁₀; 10101₇=2451₁₀; 10101₈=4161₁₀; 10101₉=6643₁₀.

17. 173,55.

18. 0,D872B; 0,39999A; 0,1F9724; 0,747AE1.

19. Запишем обе части первого равенства в развернутой форме записи в системе счисления с неизвестным основанием P: 2*P⁰*2*P⁰=1*P¹+0*P⁰. Отсюда видно, что P=4. Рассуждая подобным образом, получим и остальные значения: P=5; P=6.

20. Перевести заданные числа из десятичной системы в двоичную, восьмиричную и шестнадцатиричную системы счисления: 135,67₍₁₀₎; 98, 72₍₁₀₎.

21. Перевести полученные двоичные, восьмиричные и шестнадцатиричные числа обратно в десятичную систему счисления.

22. Перевести полученные двоичные числа в восьмиричную и шестнадцатиричную систему счисления.

23. Перевести полученные восьмиричные и шестнадцатиричные числа в двоичную систему счисления.

24. Сложить следующие двоичные числа: 11001010110111+11100101101111.

25. Выполнить вычитание: 11110000101-1100111011

Индивидуальные задания

1.В двоичной системе счисления найти сумму чисел 10011₂ и 1001₂.

2.В восьмеричной системе счисления найти сумму чисел 413₈ и 35₈..

3.В шестнадцатеричной системе счисления найти сумму чисел 12А₁₆ и 4В₁₆.

4. В шестнадцатеричной системе счисления найти сумму чисел АВС₁₆ и ЕD₁₆. 5. В двоичной системе счисления найти разность чисел 100011₂ и 1101₂. 6. В восьмеричной системе счисления найти разность чисел 470 и 26.Ответ:442₈.

7. В шестнадцатеричной системе счисления найти разность чисел 1BCA и FF.

8. В шестнадцатеричной системе счисления найти разность чисел 1CD и EF. 9. В двоичной системе счисления найти произведение чисел 1011₂ и 100₂. 10.Перевести число 93₁₀ в двоичную систему счисления.

11.Перевести число 190₁₀ в шестеричную систему счисления.

12.Перевести число 27₁₀ в четверичную систему счисления.

13.Перевести число 132₁₀ в семеричную систему счисления.

14.Перевести число 514₆ в десятичную систему счисления.

15.Перевести число 10100011101₂ в восьмеричную систему счисления.

16.Перевести число 110001₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

17.Перевести число 8AF₁₆ восьмеричную систему счисления.

18.Перевести число BAD₁₆ в четверичную систему счисления.

19.Перевести число 11011011₂ в десятичную систему счисления.

20.Перевести число 3141₁₀ в двоичную систему счисления.

21.Даны три числа А=20₈, В=22₃,С=21₁₀ в различных систем счисления. Найти их сумму в десятичной системе счисления.

22.Даны три числа А=3F₁₆,В=103₈,С=35₁₀ различных системах счисления. Найти их сумму в десятичной системе счисления.

23.Определить какое число больше 637₈ и 439₁₀.

24.Перевести число121₃ в восьмеричную систему счисления.

25.Найти основание системы счисления ,в которой 4+5=10 и 4*5=22.

26. Найти основание системы счисления, в которой 2+3=5 и 2*3=11.

27.Найти основание системы счисления, в которой справедливо равенство 121*11=1331?

28.Найти основание системы счисления , в которой справедливо равенство 315+62=410?

29.Найти основание системы счисления, в которой справедливо равенство 163+240=423?

30.Найти основание системы счисления , в которой справедливо равенство 121+40=211?