ТЕМА 12.ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ

Лабораторна робота № 25-26. Побудова прогнозів на основі динамічних рядів.

Дослідження рядів динаміки

Приклади рішення задач

Завдання 12.1. (Виробнича функція)

Припустимо що виробнича регресія (Кобба-Дугласа) має вигляд:

                                                                                          (12.1)

е Y-обсяг випущеної продукції;

X₁- основні засоби розглянутої галузі;

X₂- працезатрати.

На основі статистичних даних, використовуючи МНК, знайти:

- оцінки параметрів виробничої регресії.;

 - надійністю p=0,95 встановити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним;

- провести дисперсійний та кореляційний аналіз регресії;

- перевірити залишки моделі на наявність автокореляції залишків;

- знайти частині та сумарний коефіцієнти еластичності та зробити їх економічний аналіз;

- записати вирази для граничної продуктивність і граничного продукту даної регресії;

- обчислити значення прогнозу і його надійний інтервал.

- побудувати ізокванти для Y=172.

Рішення

1. Для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y₁=ln(Y),Z₁=ln(x1),Z₂=ln(x2) отримаємо приведену лінійну регресію:

Y1=a₀₁+a₁z+a₂x2, де a₀₁=lna₀                                                                                                 (12.2.)

Знаходимо оцінки параметрів моделі методом 1МНК за даними таблиці 12.1

Таблиця 12.1

Додаткові розрахунки для знаходження оцінок параметрів моделі

Застосовуючи пакет аналіз «Регресія» табличного процесору Excel отримали наступні дані (Таблиця 12.2)

Таблиця 12.2

Результати регресійного аналізу виробничої функції

Маємо a₀₁=0,51        A₁=0,22            A₂=0,81

Для визначення коефіцієнту а₀ знайдемо використаємо обернену функцію до натурального логарифму – експотенційну. Отже а₀ = =1,66. Таким чином наша регресія має вигляд:

                                                                    (12.3)

Для визначення адекватності вибраної математичної моделі скористуємося обрахованими значеннями таблиці 11.3, стовпця (Значущість F), що дорівнює . Отже, для заданого рівня довіри 0,95% ,так як , приймається гіпотеза про адекватність моделі статистичним даним.

2. Для обчислення помилки регресії підставимо вхідні значення х1, а х2 у рівняння (11.8) і обчислимо її за формулою :

,                                                                                             (12.4)

 де  - кількість спостережень (11/8), а  - кількість факторних змінних (2). Маємо:.

Обчислена помилка незначна. Для рівняння регресії коефіцієнт детермінації теж розраховується автоматично в процесі знаходження коефіцієнтів регресії ( =0,99 — табл.12.2, рядок «R-квадрат». Він показує, що 99,9% варіації змінної у пояснюється зміною . На долю чинників, які не увійшли до рівняння (12.3), приходиться 0,01% варіації результативної ознаки (у).

Про якість кореляційного зв’язку свідчать і нормований та звичайний коефіцієнт кореляції.

Надійність побудованої моделі визначається надійністю множинних кореляційних зв’язків та надійністю окремих коефіцієнтів регресії.

Перевірка надійності окремих коефіцієнтів регресії по t-критерію Стьюдента в стовпці t – Статистика показують що всі фактичні значення t менше теоретичного 2,04. Тому всі змінні, що увійшли до рівняння, є надійними, суттєво відмінними від нуля.

%-ві нижні та верхні довірчі інтервали коефіцієнтів регресії   наводяться у стовпчиках «Нижні 95%» і «Верхні 95%» (табл.12.2).

4. Для перевірки на наявність автокореляції залишків застосовуємо Критерий Дарбина-Уотсона (Дані представлені у таблиці 12.3)

Знайдемо оцінку критерію Дарбіна-Уотсона

DW=16,29. Порівнюємо значення DW з табличним для рівня P=0,05 n=12 .DW1 табл=0,9 DW2 табл=1,35

Висновок залишки не мають автокореляцію.

Таблиця 12.3

Таблиця додаткових даних для обчислення автокореляції

Згідно теорії, частинні коефіцієнти еластичності функції Кобба-Дугласа дорівнюють оцінкам параметрів моделі

Сумарний коефіцієнт еластичності дорівнює сумі частинних:

Так як значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в  (стале число більше одиниці) разів викличе збільшення обсягу виробництва в  число разів більше за , тобто в . В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.

6. Граничною продуктивністю праці (ГПП) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни працезатрат на одиницю при незмінних інших факторах, що впливають на обсяг виробництва продукції. Для нашого випадку вона дорівнюватиме:

                                                                          (12.5)

Граничним продуктом праці називається додатковий продукт , отриманий у результаті додаткових затрат праці  при незмінних затратах решти факторів виробництва.

7.Для обчислення довірчого інтервалу оцінки прогнозного значення обчислюємо точковий прогноз для , .

Підставляємо ці значення в формулу (12.3) маємо:

Побудуємо довірчий інтервал для прогнозного значення за формулою:

                                    (12.5)

де  - табличне значення критерію Ст’юдента,  - середнє квадратичне відхилення дисперсії залишків.

 - вектор прогнозованих даних,  - - матриця коваріацій.

Для наочного уявлення взаємо змінюваності факторів побудуємо ізокванти для Y=172. Ізокванта залежності Х₁ від Х₂ має вигляд:

                                                                                 (12.6)

Якщо сталу:

позначити через b, то отримаємо таку залежність:

Графік ізокванти має вигляд:

Рис. 12.1 Графік ізокванти для сталого значення У.

Задача 12.2 (Згладжування економічних рядів та трендові моделі. Прогнозування трендових моделей.

Аналіз тимчасового ряду і розрахунок лінії тренда)

За представленими щоквартальними обсягами продажів. У магазині “Любава” (таблиця 12.4), необхідно зробити розрахунок прогнозу на 2009 р, для цього необхідно виконати ряд розрахунків:

- розрахунок лінії тренду

- розрахунок сезонної варіації

- побудувати лінію тренда

 Запропонуйте варіанти стратегії дії магазину з урахуванням можливих ситуацій на ринку.

Таблиця 12.4

Обсяги продажів у магазині “Любава”, тис. грн.

Рішення

Алгоритм розрахунку тренду в табличному процесорі

1. Введемо данні в чарунки А і В. Вид робочого листа з введеними початковими даними показаний у таблиці 12.4. Не забудьте ввести в чарунку В2 розмірність даного ряду (тис. грн.).

2. Вводимо формулу для розрахунку чотирьох квартальної ковзної середньої в чарунку С6: = SUM(В4:В7)/4.

Скопіюйте цю формулу вниз аж до чарунки С18. Відформатуйте стовпець з точністю до другого десяткового знаку.

Перша розрахована нами середня показує середній обсяг продажів за перший рік і ми розмістимо її у третьому кварталі 2009 року, оскільки ця величина ближче до дан1их цього кварталу. Середню за наступні 4 квартали необхідно поставити в четвертий квартал.

3 Знаходимо суму двох сусідніх значень. В чарунку D6 вводимо формулу := С6+С7.

4. Центруємо набуті значення, в чарунку Е6 вводимо формулу :=D6/2 і скопіюємо її вниз до комірки Е17.

Центрована середня і є значенням розрахованого нами тренду. Розрахунки представлені в стовпці Е, округлені з точністю до одного десяткового знаку.

Якщо усереднювання відбувається з розрахунку на парне число періодів часу, скажемо на чотири квартали року або на 12 місяців, необхідно центрування тренду, оскільки чотирьох квартальна середня або 12-місячна середня потрапляють відповідно посередні між двома кварталами або двома місяцями. Проте, якщо усереднення проводиться на непарну кількість інтервалів, наприклад 7 днів тижня, то центрування, не потрібне, оскільки семиденна середня відповідає одному з днів тижня.

Таблиця 12.4.

Розрахунок обсягів продажу у магазині дитячого одягу «Любава», тис. грн.

Задача 12.3. Алгоритм дій по розрахунку сезонної варіації.

На основі даних попередньої задачі розрахуйте сезонну варіацію та побудуйте тренд динаміки.

Рішення

1.В стовпці F розрахуємо значення тимчасового ряду, які обчищені від трендової складової, це і є індексом сезонності . Для цього треба виділити чарунку F6 і ввести в неї формулу: = В6/E6*100.

Скопіюйте цю формулу вниз до чарунки F17. Відформатуйти ці чарунки з точністю до одного десяткового знаку.

Для усереднення сезонних компонентів перейдіть в іншу частину електронної таблиці, скажемо в чарунку А20 і побудуйте нову таблицю для проведення обчислень. Спершу введіть мітки рядків (роки), потім – мітки стовпців (квартали). Замість того щоб вводити всі значення із стовпця F, простіше ввести адреси чарунок, так щоб F6 було надруковане в чарунці D21, =F7 – в чарунці Е21, =Е8 – в чарунці В22, =F9 – в чарунці С32 і так далі до чарунки F17.

2.Знаходимо середні значення по кожному стовпцю. Введемо в чарунку формулу В25=СРЗНАЧ(В22:В24).

Ту ж операцію слід повторити для стовпців C, D, і E, слід звернуту увагу на те, щоб в кожну середню були включені відповідні дані чарунок, оскільки в кожному стовпці розміщення даних неоднакове.

Аналізуємо дані за кожний квартал і встановлюємо, наскільки вони в середньому більше або менше значення тренду, таким чином розраховуємо некоректовані середні. При розрахунку враховуємо, що скоректовані середні містять як нескориктовану так і залишкову варіацію. Нас цікавить тільки сезонна варіація, так що ми повинні скоректувати середні для видалення елемента залишкової варіації. В довгостроковому плані величина перевищення обсягу продажів над трендом у вдалі квартали повинна зрівнюватися з величиною, на яку обсяг продажів нижче за тренд у невдалі квартали, щоб сезонні компоненти в сумі складали б приблизно 400 (за даними цієї задачі).

3.В чарунку F25 вводимо формулу :=SUM(B25 : E25).

Ви побачите, що нескориктовані середні в данному прикладі в сумі складають 398,8. Ми повинні помножити кожне середнє значення на коректуючий коефіцієнт, щоб в сумі середні давали 400.

4.Сума сезонної варіації, розрахована по кварталах повинна дорівнювати 400. Для коректування компонентів пересуньтеся в чарунку В36 і введіть формулу:=В35 х 400/$F$35.

5.Скопіюйте формулу аж до чарунки F36 і перевірте, що значення в чарунці F36 тепер дорівнює 400.

6.Дані в комірках з В36 до Е36 є сезонними варіаціями.

Готовий робочий лист повинен виглядати так, як показано у таблиці 12.5, в режимі демонстрації формул.

Можна зберегти копію робочого листа з порожніми чарунками в стовпці В як шаблон для використання в майбутньому. Тоді при необхідності проведення аналогічних розрахунків вам залишиться тільки ввести дані в стовпець В, і електронна таблиця автоматично проведе всі необхідні розрахунки. Звичайно, може бути потрібно незначне коректування, якщо, скажімо, у вас довго часовий ряд або у нього більш дробове розбиття.

За цими прогнозами можна зробити припущення, що динаміка тренда збережеться незамінною у порівнянні з минулими періодами, а при цьому сезонна варіація збереже свою поведінку. Якщо ми допустимо, що це припущення може виявитися невірним, то доведеться внести в корективи в прогноз, враховуючи експертну очікувану зміну ситуації. Наприклад, на ринок проникає інший великий роздрібний торговець одягом і зіб’є наші ціни – тренд обсягу продажів зміниться і нам доведеться відповідно змінити наш прогноз.

Таблиця 12.5

Вид робочого листа в режимі демонстрації формул

Алгоритм дій по побудові лінії тренда.

1.Виділіть стовпці для побудови діаграми.

2.Клацніть на кнопці Мастер диаграмм, який розташований на стандартній панелі інструментів, або виберіть команду Вставка – Диаграмма.

3.На першому кроці виберіть тип діаграми График і клацніть на кнопці Далее.

4.На другому кроці роботи засобу Мастер Диаграмм перевірте правильність посилань на чарунок базової лінії. Клацніть Ряд і через функцію Добавить введіть ім’я і значення лінії тренда. Для побудови лінії тренда на графіку тимчасового ряду виділіть в стовпці Е чарунки з Е4 до Е17. Не дивлячись на відсутність даних в чарунках Е4 і Е5, ми повинні їх також виділити, щоб тренд був правильно розміщений на графіку. Клацніть на кнопці Далее.

5.На третьому кроці виберіть параметри графіка, що включає як лінії, так і маркери. Клацніть на кнопці Далее.

6.На останньому, четвертому, кроці роботи майстра необхідно визначити місцеположення діаграми: на окремому або тому ж листі. Клацніть на кнопці Готово.

Задача 12.4.. (Розрахунок прогнозів із застосуванням методу ковзного середнього)

Маємо дані про виробництво цементу в Україні (табл. 12.6)

Таблиця 12.6

Обсяги виробництва цементу в Україні, тис. т.

Подувати лінію тренду за допомогою методу ковзної середньої і розрахувати прогноз на 4 квартали наступного року. Всі отримані залежності побудувати на одному графіку.

Рішення

Наносимо точки вхідного часового ряду на графік (рис. 12.1).

З графіка видно, що ряд має сезонні коливання, тому для прогнозування виробництва цементу доцільно використати метод сезонної декомпозиції. Для цього значення показника подаємо у вигляді:

Y=T+S (1)                                                                                      (12.8)

          Щоб виявити форму тренду Т, що відображає загальну тенденцію розвитку економічного процесу, вирівняємо ряд методом ковзної середньої за формулами:

 і т. д.                                                   (12.9)

де .....розрахункові значення ковзних середніх 4 – го порядку

 і т. д.                                            (12.10)

- значення центрованої середньої 4-го порядку.

Результати розрахунків зведемо в таблицю 12.7.

Таблиця 12.7

Розрахунок ковзної середньої 4-го порядку

Значення центрованої ковзної середньої 4-ого порядку наносимо на графік (рис. 1). Розташування точок на графіку вказує на те, що загальна тенденція виробництва цементу в Україні має форму лінійної залежності, яка виражається формулою .

Параметри прямої розраховуємо методом найменших квадратів за формулами:

                                                           (27.11)

для зручності розрахунків використовуємо табл. 12.8.

Таблиця 12.8

Розрахунок параметрів парної лінійної регресії

Розрахувавши за формулами (12.4) а0 та а1 запишемо рівняння прямої:

                                                                           (12.12)

Для виявлення сезонних складової треба розрахувати значення тренду для кожного кварталу періоду спостереження, тобто для . Кожного кварталу приріст спостереження складає а1 =33,964 тис. т., тому в 3-му кварталі 1 –ого року значення лінійної тенденції буде таким:

= 1313,106.

Дані для кожного наступного кварталу збільшуються на величину а1 =33,964, заносимо їх в таблицю 12

.9.

Таблиця 12.9

Значення лінійної тенденції

Графік одержаної прямої наносимо на рис. 1 (для цього досить відкласти 2 точки).

Для визначення сезонної складової від фактичних значень вихідного часового ряду (табл. 12.10) віднімемо відповідні розраховані за формулою:

S=E-T                                                                                             (12.13)

Значення загальної тенденції Т (таб. 12.8). Результати розрахунків зводимо в таблицю 12.10.

Таблиця 12.10

Визначення сезонних коливань

Сезонні складові розраховуються як середні арифметичні для кожного з кварталів за 4 роки за даними таблиці 5.

Далі за формулою:

                                                                                             (12.14)

Визначаємо С=5,13 і за формулою:  , - остаточні значення сезонних складових після коригування.Прогнозні значення показника Упр , що визначає обсяги виробництва цементу в Україні розраховуємо за формулами:

 і відкладаємо на графіку (рис. 12.2).

Таким чином аналізуючи циклічні коливання виробництва цементу в Україні можна зробити наступні висновки:

виходячи з фактичних даних обсягів виробництв за останні 4 роки періоди спаду виробництва приходяться в основному на початок кожного року.

Економічний підйом приходиться на перші два квартали кожного року

Найбільший обсяг виробництва припадав на початок 3 кварталу останнього року

Не дивлячись на циклічність процесів, постійного спаду виробництва в 3-4 кварталі кожного року спостерігається тенденція до зросту обсягів по роках.

Тому прогнозовані значення обсягів виробництва цементу на наступний рік показує, що на початок першого кварталу це значення буде найбільшим за 4 попередніх роки, показники виробництва 2-го та 3 кварталів залишаться на тому рівні і, на кінець, року показник буде на рівні 2 –их кварталів попередніх років, що підтверджує гіпотезу про зростання обсягів виробництво в цілому.

Рис.127.2 Динаміка виробництва цементу (по кварталам)

Задача 12.5(Розрахунок прогнозів за допомогою функцій регресії Еxcel)

За даним таблиці (27.11) скласти прогноз на наступні роки виробництва молока в Україні використовуючи функцію ТЕНДЕНЦІЯ та РОСТ.

Рішення

1. Введемо статистичні данні в чарунки В3:В31, а роки розташовані в чарунках А3:А31

2.Застосовуючи дані робочого листа, введіть в чарунку А32 число 2008, а в чарунку В33 — наступне:

=ТЕНДЕНЦИЯ(В3:В31;А2:А31; А32)

Ехсеl поверне в чарунки В33 прогноз на 2008 рік. Даний прогноз базуватиметься на зв'язку між даними наглядів базової лінії діапазону В3:В31 і тимчасовими моментами базової лінії з 1 по 27, вказаними в чарунках А3:А31.

Припустимо, що зв’язок між обсягами виробництва молока та роками нелінійний, тоді прогноз на 2008 рік побудуємо за допомогою нелінійного прогнозу: функція РОСТ

Таблиця 12.11

Динаміка обсягів виробництва молока (1980-2007) рр..

Алгоритм дій

1 Введемо статистичні данні в чарунки В3:В31, а роки розташовані в чарунках А3:А31

2 Виділяємо чарунку В32і вводимо наступну формулу, використовуючи формулу масиву: =РОСТ(В3:В31;А2:А31; А32) після введення формула в цій клітин буде знаходитися прогнозоване значення обсягів виробництва молока в 2008 році.

Завдання для самостійної роботи

1. 2. На прикладі розглянутої задачі 27.3 знайти:

- оцінки параметрів виробничої регресії.;

 - надійністю p=0,95 встановити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним;

- провести дисперсійний та кореляційний аналіз регресії;

- перевірити залишки моделі на наявність автокореляції залишків;

- знайти частині та сумарний коефіцієнти еластичності та зробити їх економічний аналіз;

- записати вирази для граничної продуктивність і граничного продукту даної регресії;

- обчислити значення прогнозу і його надійний інтервал.

- побудувати ізокванти для Y=172.

За даними таблиці 12.12

Таблиця 12.12

Де - порядковий номер вашого прізвища у журналі

Записати отримані залежності та відповіді у зошит:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Графік ізокванти для Y=172. має вигляд:

2. Маємо дані про виробництво (табл. 12.13)

Таблиця 12.13

Обсяги виробництва, тис. т.

Де - порядковий номер студента у журналі.

 Подувати лінію тренду за допомогою методу ковзної середньої і розрахувати прогноз на 4 квартали наступного року. Всі отримані залежності побудувати на одному графіку.

3. За представленими щомісячними обсягами реалізації хлібобулочних виробів (таблиця 12.14), необхідно зробити розрахунок прогнозу на 2009 р цій обсягів реалізації через:

- розрахунок лінії тренду;

- розрахунок сезонної варіації;

- побудувати лінію тренда;

Таблиця 12.14

Обсяг реалізації хлібобулочних виробів, тис.т