ТЕМА 11. УЗАГАЛЬНЕНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ

Лабораторна робота №22. Нелінійні моделі

Приклади рішення задач

Задача 11.1 (множинна нелінійна залежність між попитом та ціною на деякій товар)

Нехай на повний вигляд товару таблиця попиту має вигляд:

де Р_і- ціна за одиницю товару

D_і - кількість товару поданого за певний період по ціні Р_і

1. На основі статистичних даних знайти оцінки параметрів регресії попит, якщо допустити, що вона має таку структуру:

D=a₀+a₁P+a₂P²                                                                                        (11.1)

2.Зробити повний регресійний, дисперсійний та економічний аналіз моделі.

3. Обчислити:

- проміжки цін зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні;

- ціну на товар, за якої товарообіг у грошовому вираженні буде максимальним;

- проміжки цін зростання та спадання прибутку;

- оцінку ціни на товар, за якої прибуток буде максимальним, та його значення.

Рішення

1. Згідно теорії перетворимо вхідні данні залежності попиту від ціни в лінійну модель і заповнимо наступну таблицю.

Таблиця 11.1

де , .

Застосовуючи пакет аналіз «Регресія» табличного процесору Excel отримали наступні дані (табл. 11.2)

Таблиця 11.2

Результати регресійного дисперсійного аналізу моделі

Регресійна статистика
Множинний R	1,00
R-квадрат	0,99
Нормований R-квадрат	0,99
Стандартна помилка	0,22
Спостереження	11,00
Дисперсійний аналіз
	df	SS	MS	F	Значущість F
Регресія	2,00	50,68	25,34	514,13	3,5-E9
Остаток	8,00	0,39	0,05
Усього	10,00	51,07
	Коефіцієнти	Стандартна помилка	t-статистика	P-Значення	Нижня межа 95%	Верхня межа 95%
Y-перетин	8,97	0,24	36,81	0,00	8,41	9,54
Змінні X 1	-0,79	0,09	-8,42	0,00	-1,00	-0,57
Змінна X 2	0,01	0,01	1,19	0,27	-0,01	0,03

2.Аналіз даних робиться на основі прикладів рішення задач лабораторної роботи 18-22 (Задача 10.1)

3. Згідно даним таблиці 11.2:                                                 а₀=8,97

а₁=-0,78

а₂=0,01

отже рівняння нелінійної залежності між попитом та ціною на деякий вид продукції має вигляд:

                                                              (11.2)

4.Для пошуку проміжків зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні підставимо значення знайдених оцінок параметрів регресії у формулу:

)                                                                           (11.3)

Маємо:Р₁=51,64           Р₂=6,41.

Після підстановки отриманих значень у рівняння товарообігу, що дорівнює

:  

Отримаємо два значення товарообігу одне максимальне , друге мінімальне.

Отже в точці Р₁=51,64 товарообіг мінімальний а в точці Р₂=6,41- максимальний. Проміжки зростання (враховуючі, що ціна – значення не від’ємне, теж саме стосується і товарообороту) товарообігу  та спадання .

При р=13,6 значення товарообігу приблизно дорівнюватиме 0.

5. Для пошуку максимального прибутку скористуємося формулою:

                                  (11.4)

де С –сталі витрати, а VD – змінні витрати в собівартості продукції, та:

Підставляючи ці значення в формулу прибутку, знаходимо його похідну по Р і прирівнюємо до 0. Рішення квадратного рівняння має наступний вигляд:

                                                           (11.5)

а V – коефіцієнт змінних витрат пропорційний обсягу випуску продукції.

Підставляючи отримані оцінки параметрів моделі маємо, наближено вираз значення ціни при найбільшому прибутку:

                                                       (11.6)

Отже чім більше значення V, тим більше ціна, так як підкореневий виріз завжди невід’ємний.

Якщо відома собівартість продукції і відповідно її змінні витрати, то можна обчислити максимальний прибуток:

де  обчислено за формулою (11.2) при заданому значення V І с (С= 2,1 од. а, V= 0,7).

Задача 11.2На основі статистичних даних показника Y і факторів  та  знайти оцінки параметрів регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами і показником має вигляд У = 1п(а₀ +а₁/Х₁+ а₂Х₂) на основі вхідних даних:.

Таблиця 11.3

Використовуючи критерій Фішера, оцінити з надійністю р = 0,95 адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти:

— оцінки прогнозу та з надійністю р= 0,95 його надійний інтервал;

— оцінки частинних коефіцієнтів еластичності для прогнозу.

Рішення

Вводиться гіпотеза, що між факторами Х_ь Х₂ та показником У існує така стохастична залежність: Y=LN( + + )

Для розв'язування задачі використовуємо пакет прикладних програм Регресія, меню Сервіс/Аналіз даних табличного процесора Excel.

Для приведення регресії до лінійного виду пропотенціюємо регресії та зробимо заміну величин

Застосовуючи пакет регресія для перетворених даних отримали оцінки параметрів лінійної регресії виду:

У даному прикладі розрахунку лінія регресії матиме вигляд У = 1n(0,1 + 0,02/  +2,6  ).

Згідно табличного значення критерія Фішера, що дорівнює: 12132,4. Можна зробити висновок про адекватність моделі статистичним даним.

Знайдемо формули для частинних коефіцієнтів еластичності:

Для обчислення прогнозу підставимо прогнозні значення у формулу,

 маємо: .

Для обчислення помилки прогнозу за допомогою матричних функцій табличного процесора введемо:

=КОРЕНЬ(1+МУМНОЖ(МУМНОЖ( ;МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП( ); ));ТРАНСП( ))), де:

 - вектор стовпець прогнозних значень , а  - матриця вхідних даних (перетворених) з додатковим першим стовпцем з одиниць (для врахування вільного члена). Отримане значення помножимо на стандартну помилку, що є в таблиці регресійної статистики і дорівнює 0,0024 та табличне значення критерію Стюдента для ступнів вільності (12; 1) та ймовірності 0,95. Воно дорівнюватиме 2,4. Отже стандартна помилка для даного прогнозу дорівнює 0,94. Маємо надійні межи математичного сподівання точкового прогнозу (2,045; 3,945)

Завдання для самостійної роботи

1. Завдання вище описаного прикладу (задача 11.1) виконати для наступних статистичних даних ціни та кількості деякого проданого в певний період товару.( N- порядковий номер студента у журналі).Обчислити проміжки зростання та спадання прибутку, якщо в собівартості продукції С= 2,1  од. а, V= 0,7 .

Таблиця 11.4

Р	D
1	8,15
2	7,24
3	6,31
4	6,24
5	5,47
6	4,53
7	3,67
8	3,08
9	2,44
10	1,81
11	1,45

Де - порядковий номер вашого прізвища у журналі

Записати отримані залежності та відповіді у зошит:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. На основі статистичних даних показника Y і факторів  та  знайти оцінки параметрів регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами і показником має вигляд згідно обраному (Додаток 1 )

Використовуючи критерій Фішера, оцінити з надійністю р = 0,95 адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти:

— оцінки прогнозу та з надійністю р= 0,95 його надійний інтервал;

— оцінки частинних коефіцієнтів еластичності для прогнозу.

Записати отримані залежності та відповіді у зошит: