Лабораторна робота №23-24 Системи одночасних структурних рівнянь

Приклади рішення задач

Задача 11.3 (двокроковий метод найменших квадратів)

Нехай спостереження вихідних даних задані у вигляді таких матриць:

; ; .

Економетрична модель, яка може бути побудована на основі цих даних, складається з трьох рівнянь, одне з яких має вигляд:

                                                    (11.7)

Модель має ще три екзогенні змінні - Необхідно знайти оцінки параметрів цього рівняння моделі на основі двокрокового методу найменших квадратів та оцінити їх стандартні помилки, якщо дисперсія залишків дорівнює 0,6.

Рішення

Крок 1. Перевіримо рівняння моделі на ідентифікованість. Для цього розглянемо нерівність

,

 - кількість ендогенних змінних, які входять в це рівняння;

 - загальна кількість екзогенних змінних;

- кількість екзогенних змінних, що входить в це рівняння моделі.

, .

Таким чином, наведене рівняння моделі є над ідентифікованим.

Крок 2. Запишемо оператор оцінювання параметрів 2МНК:

                                  (11.8)

.

У цьому операторі Y – вектор ендогенної змінної:

;

 - матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння:

;

X – матриця всіх екзогенних змінних моделі:

;

- матриця екзогенних змінних даного рівняння, .

Крок 3. Знайдемо добуток матриць згідно з оператором оцінювання 2МНК:

3.1. .

Ці дані взяті з матриці  (другий та третій рядки).

.

3.2 Оскільки матриця  є діагональною (це означає, що всі змінні взяті як відхилення від свого середнього значення). Звідси  також діагональна матриця.

3.3. .

3.4. .

3.5. ; ; .

Звідси блочна матриця має вигляд:

.

3.6. Знайдемо матрицю, обернену до матриці Q.

3.7. Обчислимо добуток матриць, що знаходяться в правій частині оператора:

.

Маємо вектор :

                          .

Крок 4. Визначимо оцінки параметрів рівняння:

=

.Перше рівняння економетричної моделі запишеться так:

Крок 5. Визначимо асимптотичні стандартні помилки знайдених оцінок параметрів рівняння:

; ;

;         ;

;  ;

Стандартні помилки щодо абсолютного значення оцінки становлять відповідно 24,9%, 28,8%, 38,7%, а це свідчить про те, що оцінки параметрів рівняння є зміщеними і неефективними.

Задача 11.4Система незалежних регресій (попит та пропозиція)

На основі статистичних даних:Y₁ Y₂ — попит та пропозиція на певний вид товару таблиця 11.5

Таблиця 11.5

Х
1	8.41	1.70
2	7.38	2.01
3	6.43	2.54
4	6.46	3.38
5	5.62	3.87
6	4.75	4.77
7	3.86	5.65
8	3.31	6.35
9	2.67	6.48
10	2.16	7.31
11	1.60	8.41

X— ціна на цей вид товару.

Оінити параметри регресій попиту та пропозиції, якщо припустити, що стохастичні залежності між попитом і ціною та пропозицією і ціною мають вигляд:

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю Р = 0,95 оцінити адекватність економетричної моделі статистичним даним та знайти:

— точку рівноважної ціни;

— значення коефіцієнта еластичності попиту та пропозиції в цій точці.

Побудувати графіки регресії попиту та пропозиції та їх довірчої зони. Для прогонозованого значення Х=66

Рішення

Цю систему рівнянь можемо розв'язати, використовуючи ЗЖВ. Для розв'язування системи рівнянь використаємо макропроцедури обробки даних — матричні операції (транспонування, обернення, добуток матриць). Запишемо сумісну систему нормальних рівнянь в матричній формі:

Де

Для знаходження матриці [А]робимо в такій послідовності операції над матрицями.

1. Знайдемо транспоновану матрицю до матриці Х.

2. Знайдемо добуток матриць [Х]^Т[Х].

3. Знайдемо обернену матрицю

4. Знайдемо добуток матриць

5. Обернену матрицю помножимо на матрицю

В результаті матриця оцінок параметрів моделі має вигляд:

А система одночасних структурних рівнянь:

Знайдемо розрахункові значення попиту та пропозиції, та їх відхилення від фактичних значень Таблиця 11.6

Таблиця 11.6

№
1	8.28	1.51	0.08	0.009
2	7.53	2.12	0.05	0.001
3	6.80	2.74	0.56	0.04
4	6.09	3.37	0.02	0.03
5	5.39	4.02	0.03	0.05
6	4.71	4.69	0.05	0.04
7	4.04	5.37	0.01	0.00
8	3.39	6.07	0.00	0.34
9	2.75	6.79	0.01	0.01
10	2.13	7.52	0.001	0.12
11	2.16	7.31	0.0049	0.0196

Отже стандартна помилка оцінок параметрів моделі для кожного рівняння дорівнюватиме:

6. Для оцінки адекватності прийнятої моделі попиту-пропозиції використовуємо критерій Фішера.

Для цього знаходимо розрахунків значення критерію.

маємо:                

Порівнюючи ці значення з табличним значенням критерію з ймовірністю 0,95 та ступенями вільності (7, 1) -5,59 можемо зробити висновок про адекватність моделі статистичним даним.

Для перевірки автокореляції в залишках використовуємо критерій Дарбіна-Уотсона. Значення критерію Дарбіна-Уотсона для обох регресії дорівнює:

.

Фактичне значення критерію менше, тому залишки моделі не автокорельовані.

7. Оскільки економетрична модель адекватна експериментальним даним, то її можна використати для економічного аналізу.

Знайдемо точку рівноваги. В точці рівноваги попит дорівнює пропозиції. Прирівнявши попит до пропозиції, отримаємо квадратне рівняння відносно ціни.

                                               (11.9)

Корені знаходяться за формулою:

Підставляючи отримані значення оцінок і враховуючи, що , маємо: .

Значення попиту тат пропозиції в цій точці .

8. Оскільки розрахункові значення попиту та пропозиції в точці рівноваги співпали, то значення Х-і координати точки рівноваги знайдено правильно.

Знайдемо значення коефіцієнтів еластичності в точці рівноваги:

Для визначення довірчої зони регресії попиту та пропозиції використовуємо формулу:

                                (11.10)

Отже інтервал довіри для прогнозованого значення Х=66 по попиту: , а по пропозиції дорівнює .

Використовуючи Мастер диаграмм, будуємо графіки регресії попиту та пропозиції і їх довірчих зон (рис. 11.1.

Рис.11.1. Попит, пропозиція та їх довірчі зони.

Завдання для самостійної роботи

1. Наведено одне із трьох рівнянь моделі

Модель ще має три пояснювальних екзогенних зміні

, , .

Вихідні дані задані у вигляді таких матриць:

;

;

.

Знайдіть оцінки параметрів рівняння на основі 2МНК і оцініть їх стандарті помилки, якщо диспепсія залишків дорівнює:

,

 де - номер вашого прізвища у журналі. Запишіть оцінки параметрів моделі та висновки у зошит.

Висновки

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. На основі статистичних даних:Y₁ Y₂ — попит та пропозиція на певний вид товару X— ціна на цей вид товару

Х
1	8.41	1.70
2	7.38	2.01
3	6.43	2.54
4	6.46	3.38
5	5.62	3.87
6	4.75	4.77
7	3.86	5.65
8	3.31	6.35
9	2.67	6.48
10	2.16	7.31
11	1.60	8.41

.(де - номер вашого прізвища у журналі)

Оцінити параметри регресій попиту та пропозиції, якщо припустити, що стохастичні залежності між попитом і ціною та пропозицією і ціною мають вигляд:

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю Р = 0,95 оцінити адекватність економетричної моделі статистичним даним та знайти:

— точку рівноважної ціни;

— значення коефіцієнта еластичності попиту та пропозиції в цій точці.

Побудувати графіки регресії попиту та пропозиції та їх довірчої зони. Для прогонозованого значення Х=66

Запишіть оцінки параметрів моделі та висновки у зошит.

Висновки

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________