ТЕМА 10. ЛІНІЙНІ МОДЕЛІ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ. ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ

ТЕМА 9 ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ МОДЕЛЕЙ.

ПАРНА ЛІНІЙНА РЕГРЕСІЯ

Лабораторна робота №16-17. Парна лінійна регресія

Приклади розв’язування задач

Задача 9.1. (знаходження оцінок параметрів моделі)

Знайти оцінки параметрів моделі  методом найменших квадратів, якщо задані вектори Х та У. Обчислить дисперсію залишків цієї моделі, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт кореляції, коефіцієнт еластичності.

Рішення

Нехай залежність між Х та У описується  прямою лінією , де u - залишки (збурення моделі). Розрахункові значення (Ур) обчислимо, користуючись такою моделлю:

                                                                         (9.1)

Для обчислень можна використовувати таку допоміжну таблицю. Для перевірки таблиця вже має заповнені стовпці.

Таблиця 9.1

Обчислимо значення оцінок параметрів моделі за допомогою відхилень середніх арифметичних , за формулою:

=1,7

та

Що дорівнює відповідно 5,33.

Обчислимо значення Ур (розрахункове) використовую формулу .

Обчислимо залишки за формулою = У-Ур та їх квадрати, та відповідні суми стовпців.

Обчислимо не зсунену оцінку дисперсії залишків . Вона дорівнює 0,71 та середнє квадратичне відхилення . використовуючи формулу

Коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою (9.2):

=0,986                                                                           (9.2)

Коефіцієнт еластичності для парної регресії обчислимо за формулою:

=0,68                                                                                           (9.3)

Задача 9.2.(перевірка якості, точності та надійності моделі)

На основі моделі  попередньої задачі виконати наступне:

- перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції, оцінок параметрів моделі (за допомогою t – тест Стюдента);

- знайти інтервал довіри для параметра кутового коефіцієнта регресії, надійні межі для вільного члена;

- перевірити модель на адекватність статистичним даним (F – тест, значущість 95%)

- знайти точковий прогноз та інтервал довіри окремого значення Упр та для математичного сподівання значення Упр якщо Хпр=15.

Рішення

Для перевірки гіпотези про значущості коефіцієнта кореляції застосуємо формулу:

=17,047 , де r – вже обчислений нами раніше коефіцієнт кореляції.

Порівняємо це значення з табличним значенням t (статистичні таблиці) якій дорівнює 2,306 и зробимо висновок.

Для перевірки гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі застуємо формулу:

          де                  (9.4)

Отже маємо:

Порівняємо ці значення з табличним значенням критерію Стюдента (2,306) – зробимо висновки.

Довірчий інтервал прогнозу будується на основі загального співвідношення:

ŷ ,                                                                                                (9.5)

де — гранична помилка прогнозу.

Воно є базовим і використовується для визначення довірчих інтервалів прогнозу, побудованих за допомогою будь-яких моделей лінійної регресії, знайдених за методом найменших квадратів.

Доведено, що для парної лінійної моделі гранична помилка прогнозу з достовірністю % має вигляд:

.                                                         (9. 6)

При цьому застосовується табличне значення t – критерію Стьюдента з рівнем значущості (  i k=N-1)ступенями вільності у випадку двосторонньої перевірки.

Отже кутовий коефіцієнт нашої моделі знаходиться в межах (1,696; 1,7934), а вільний член попадає в інтервал довіри: (4,109; 6,56).

Для розрахунку F критерію скористуємося формулою:

                                                                                   (9.7)

Порівнюючи отримане значення з табличним значенням критерію Фішера =3,4, (так як воно більше ніж розрахункове) , робимо висновок про адекватність моделі статистичним даним.

Для розрахунку прогнозного значення У підставте прогнозне значення х=15 в отриману формулу регресії ( з завдання 1) :

.

Маємо =30,84

Тоді надійний інтервал для математичного сподівання прогнозного значення дорівнює:

значення t критерію не змінюється =2,34. Середнє квадратичне відхилення, обчислене в попередньому завданні та інші складові формули знайдіть в рядку Сум в таблиці 9.1 з відповідними стовпцями. І в розрахунках вашої роботи.

Завдання для самостійної роботи

На основі прикладів розв’язування задач 9.1 та 9.2  виконати наступні завдання в табличному процесорі Excel:

1. Знайти оцінки параметрів моделі  методом найменших квадратів, якщо задані вектори Х та У. Обчислить дисперсію залишків цієї моделі, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт кореляції, коефіцієнт еластичності. Перевірити модель на якість, в тому числі:

· значущість коефіцієнта кореляції;

· значущість оцінок параметрів моделі;

· адекватність моделі статистичним даним;

· знайти інтервал довіри для параметра кутового коефіцієнта регресії;

· надійні межі для вільного члена;

· інтервал довіри для математичного сподівання значення Упр інтервал довіри для окремого значення Упр, якщо Хпр=15N ( теоретична ймовірність 0,95).

Вхідні данні

Таблиця 9.2

де N порядковий номер вашого прізвища в журналі.

2. Занотувати отримані значення показників в таблицю:

3.Записати отримані економічні висновки у зошит _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________

4.Побудувати у зошиті графік лінійної регресії .

1. Запишіть у таблицю основні роки публікацій, прізвища дослідників та моделі економетрії

ТЕМА 10. ЛІНІЙНІ МОДЕЛІ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ