Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале. Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интер­вале (а;b);

2) при f"(х) < 0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М0(х0; f(х0)) графика функции у = f(х) на­зывается точкой перегиба этого графика, если существует та­кая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М0(х0; f(х0)).

Необходимый признак существования точки перегиба. Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба. Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х0 и f"(х) > 0 при х > х0 или f"(х) > 0 при х < х0 и f"(х) < 0 при х > х0, то М0(х0, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

Дифференциал. Определение. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Дифференциал

Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

или

или же