Задание 1.7. Найти уравнения кривых.

Замечания. 1) При оформлении решений заданий изобразите на рисунке 3-4 кривые из семейства, соответствующих общему решению дифференциального уравнения, и среди них выделите частное решение: линию, проходящую через заданную точку.

2) Используя кривую частного решения, покажите на чертеже касательную и подкасательную, нормаль и поднормаль для заданной точки .

1.7.1. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания: .

1.7.2. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на 2.

1.7.3. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.4. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.5. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.6. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.7. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на 4.

1.7.8. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.9. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.10. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.11. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.12. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.13. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен абсциссе точки касания, умноженной на −2.

1.7.14. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.15. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.16. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.17. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.18. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.19. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на 2.

1.7.20. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.21. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.22. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.23. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.24. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен линейной комбинации координат точки касания .

1.7.25. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен ординате точки касания, умноженной на −2.

1.7.26. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.27. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её подкасательной для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на 2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.28. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна абсциссе точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.29. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что длина её поднормали для каждой точки кривой равна ординате точки касания, умноженной на −2. Рассмотреть только случай, когда в каждой точке кривой .

1.7.30. Найти уравнение линии, проходящей через точку , зная, что угловой коэффициент её касательной в этой точке равен квадрату абсциссы точки касания, умноженной на 2.

1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для
решения задач физики и химии

Для составления дифференциального уравнения – математической модели физической (химической) задачи –  часто применяют следующие способы:

1) записывают условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) определяют, какая из величин будет независимой переменной (обозначим её x), а какая зависимой (обозначим её y); затем, используя соотношения между нужными величинами при постоянных значениях параметров, находят линейное приближение для приращения  когда независимая переменная получила приращение ; разделив на  и переходя к пределу при , получают дифференциальное уравнение.

Для правильного составления уравнений требуется знание физических законов (первый и второй законы Ньютона, законы Кирхгофа для цепи переменного тока, закон Ньютона для скорости изменения температуры тела (см. указание 3 к заданию 1.8 и некоторые другие) в рамках стандартного курса общей физики по разделам: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество и магнетизм.

Справочный материал

Закон гравитации.Сила притяжения двух точечных (или сферически симметричных) масс  и , находящихся на расстоянии  друг от друга:

,

где  (в системе СИ) – гравитационная постоянная.