Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Если для дифференциального уравнения выполнено условие = , его называют уравнением в полных дифференциалах: в этом случае существует функция , для которой выражение является ее полным дифференциалом. Так как полный дифференциал функции имеет вид , то должны выполняться равенства и . Если функция найдена, то равенство = , где − произвольная постоянная величина, задает семейство решений дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Для нахождения функции используют стандартный алгоритм, который иллюстрирует приведённый ниже пример. Пример 1.6. Решить уравнение , предварительно удостоверившись, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение. 1) Вычислим производные =3 и =3. Равенство = подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. 2) Учитывая, что , вычислим = + . В нашем случае имеем: = + = + . (1.7) 3) Вычислим производную = – . В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражение и (1.7), получаем = . 4) Интегрируя, находим функцию = = . 5) Подставляя в (1.7), записываем общее решение заданного уравнения = + = = . Ответ. = = . Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных Для нахождения уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка по заданным геометрическим свойствам кривых составляют уравнение , связывающее координаты произвольной точки кривой и производную функции . Напомним, что геометрический смысл производной − тангенс угла наклона касательной к кривой в точке . На рисунке 1.1 представлена некоторая кривая . Для произвольной точки этой кривой построены касательная и нормаль и выделены точки пересечения касательной и нормали с осями и , именно: а) для касательной – точки и ; б) для нормали – точки и .
Ниже приведены формулы длин основных характерных отрезков кривой , , , , , Величиной обозначен угловой коэффициент касательной в точке . Запишем для точки уравнение касательной (1.8) и нормали . (1.9) Используя (1.8), определим координаты точек и пересечения касательной с осями координат , и вычислим длины отрезков , : а) для точки имеем: =0 → = → = → = ; (1.10) б) для точки имеем: =0 → = → = → = . (1.11) Зная координаты точки (см. (1.10)), вычислим длину подкасательной: = Аналогично, используя (1.9), найдем координаты точек и пересечения нормали с осями координат , и вычислим длины отрезков , : а) для точки имеем: =0 → = → = → = ; (1.12) б) для точки имеем: =0 → = → = → = . Используя (1.12), вычислим длину поднормали = .
Решение. Пусть – произвольная точка кривой (см.рис.1.2). Считаем , так как ордината должна быть пропорциональна неотрицательной величине – длине отрезка. Условие задачи означает, что длина отрезка равна 2 , то есть, применяя формулу (1.11) для вычисления длины отрезка , =2 . Из равенства =2 следует, что необходимо рассмотреть два случая: ▪ Случай-1: ; (1.13) ▪ Случай-2: . (1.14) Случай-1. 1) Дифференциальное уравнение (1.13) имеет решением функцию , график которой не проходит через точку (1,1).
Случай-2.
Ответ. , . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-29; просмотров: 183. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |