Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахЕсли для дифференциального уравнения Для нахождения функции Пример 1.6. Решить уравнение Решение. 1) Вычислим производные 2) Учитывая, что 3) Вычислим производную 4) Интегрируя, находим функцию 5) Подставляя
Ответ. Задание 1.6. Решить уравнение, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных  Для нахождения уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка по заданным геометрическим свойствам кривых составляют уравнение На рисунке 1.1 представлена некоторая кривая
 Геометрические свойства кривой обычно задаются условиями на соотношения между длинами отрезков  ,  ,  ,  ,  ,  ,  и  – отрезки касательной,  – подкасательная,  и  – отрезки нормали,  – поднормаль (см.рис.1.1). Каждое такое соотношение есть дифференциальное уравнение, определяющее совокупные геометрические свойства кривой. Решая уравнение, находят соответствующее семейство кривых с заданными свойствами. Задавая начальные условия, из семейства кривых выделяют единственную кривую.
Ниже приведены формулы длин основных характерных отрезков кривой Запишем для точки и нормали Используя (1.8), определим координаты точек а) для точки б) для точки Зная координаты точки Аналогично, используя (1.9), найдем координаты точек а) для точки б) для точки Используя (1.12), вычислим длину поднормали
 Пример 1.7. Найти уравнения кривых, проходящих через точку (1,1), зная, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной к кривой в каждой точке, пропорциональна ординате точки касания. Принять коэффициент пропорциональности  =2.
Решение. Пусть Из равенства ▪ Случай-1: ▪ Случай-2: Случай-1. 1) Дифференциальное уравнение (1.13) имеет решением функцию
 2) Запишем уравнение (1.13) в виде  – это уравнение с разделяющимися переменными, общим решением которого является семейство гипербол  . Требование  означает если  , то  , если  , то  (см.рис.1.3). Точка  выделяет из семейства гипербол единственную кривую.
Случай-2.
 1) Перепишем уравнение (1.14) в виде  . Нетрудно получить его общее решение  – семейство кубических парабол. Здесь также если , то , если , то . Кубическая парабола проходит через точку  при  =1 (см.рис.1.4; для значений  семейство интегральных кривых не показано).
Ответ. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-29; просмотров: 326. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |
выполнено условие 
= 
, его называют уравнением в полных дифференциалах: в этом случае существует функция 
, для которой выражение 
является ее полным дифференциалом. Так как полный дифференциал функции имеет вид 
, то должны выполняться равенства 
и 
. Если функция 
найдена, то равенство 
= 
, где 
− произвольная постоянная величина, задает семейство решений дифференциального уравнения в полных дифференциалах.
используют стандартный алгоритм, который иллюстрирует приведённый ниже пример.
, предварительно удостоверившись, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
=3 и 
=3. Равенство 
= 
подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
, вычислим 
= 
+ 
. В нашем случае имеем:
= 
+ 
= 
+ 
. (1.7)
= 
– 
. В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражение 
и (1.7), получаем 
= 
.
= 
= 
.
в (1.7), записываем общее решение заданного уравнения 
= 
+ 
= 
= 
.
= 
= 
.
, связывающее координаты произвольной точки 
кривой 
и производную функции 
. Напомним, что геометрический смысл производной 
− тангенс угла наклона касательной к кривой 
в точке 
.
. Для произвольной точки 
этой кривой построены касательная 
и нормаль 
и выделены точки пересечения касательной и нормали с осями 
и 
, именно: а) для касательной – точки 
и 
; б) для нормали – точки 
и 
.
, 
, 
, 
, 
, 
Величиной 
обозначен угловой коэффициент касательной в точке 
.
уравнение касательной
(1.8)
. (1.9)
и 
пересечения касательной с осями координат 
, 
и вычислим длины отрезков 
, 
:
имеем:
=0 → 
= 
→ 
= 
→ 
= 
; (1.10)
имеем:
=0 → 
= 
→ 
= 
→ 
= 
. (1.11)
= 
и 
пересечения нормали с осями координат 
, 
и вычислим длины отрезков 
, 
:
имеем:
=0 → 
= 
→ 
= 
→ 
= 
; (1.12)
имеем:
=0 → 
= 
→ 
= 
→ 
= 
. 
= 
.
– произвольная точка кривой 
(см.рис.1.2). Считаем 
, так как ордината должна быть пропорциональна неотрицательной величине – длине отрезка. Условие задачи означает, что длина отрезка 
равна 2 
, то есть, применяя формулу (1.11) для вычисления длины отрезка 
, 
=2 
.
=2 
следует, что необходимо рассмотреть два случая:
; (1.13)
. (1.14)
, график которой не проходит через точку (1,1).
, 
.