Линейные дифференциальные уравнения

Заданное дифференциальное уравнение называют линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-ой степени:                            

.                                               

Рассмотрим решение уравнения, записанного в виде  применением подстановки (метод Бернулли) , где  и .

Для функции  вычислим производную  и вместе с выражением  подставим в заданное уравнение:

                                                        .                                              (1.5)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нам нужно одно частное решение уравнения. Разделим переменные и проинтегрируем , или . Подставив  в (1.5), получим для нахождения уравнение с разделяющимися переменными . Последнее легко интегрируется + .

Остаётся записать общее решение заданного уравнения = , из которого для заданных начальных условий  выделяют частное решение.

Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение . Найти его частное решение при условии .

Решение. 1) Заданное уравнение линейное относительно  и , причём  и .

2) Применяя подстановку , перепишем заданное уравнение = .

3) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение = , или = .

4) Теперь, интегрируя уравнение: , получаем = + = + .

5) Записываем общее решение заданного уравнения = · .

6) Используя начальные условия (задача Коши), находим =1 и записываем частное решение уравнения = · .

Ответ. = ·  –  общее решение, = ·  – частное решение.

Замечание. В задании (1.4) используются линейные уравнения как относительно , так и относительно . Для первого случая начальные условия представлены в виде: , для второго случая в виде: .

Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий.

Вар.	Уравнение и начальные условия:	Вар.	Уравнение и начальные условия:
1.4.1.	, .	1.4.16.	, .
1.4.2.	, .	1.4.17.	, .
1.4.3.	, .	1.4.18.	, .
1.4.4.	, .	1.4.19.	, .
1.4.5.	, .	1.4.20.	, .
1.4.6.	, .	1.4.21.	, .
1.4.7.	, .	1.4.22.	, .
1.4.8.	, .	1.4.23.	, .
1.4.9.	, .	1.4.24.	, .
1.4.10.	, .	1.4.25.	, .
1.4.11.	, .	1.4.26.	, .
1.4.12.	, .	1.4.27.	, .
1.4.13.	, .	1.4.28.	, .
1.4.14.	, .	1.4.29.	, .
1.4.15.	, .	1.4.30.	, .

Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение называют уравнением Бернулли, если оно имеет вид

                                                          ,                                                (1.6)

причём, в выражении (1.6) требуем, чтобы  не равнялось  0 или 1, так как при этих значениях уравнение (1.6) есть линейное уравнение. Заметим, что в случае >0 сразу выделяется одно из решений уравнения =0.

Известно, что при помощи подстановки  уравнение Бернулли превращается в линейное уравнение:     

Применив стандартный алгоритм решения линейного уравнения, находят функцию . Затем из равенства  находят решение исходного уравнения.

Пример 1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли ∙ .

Решение. 1) Заданное дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли для случая = . Функция  является его решением.

2) Считая , перепишем заданное уравнение в виде . Применив подстановку = , , получаем линейное дифференциальное уравнение , где  и .

3) Полагая , перепишем заданное уравнение = .

4) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение = , или = .

5) Теперь, интегрируя уравнение , получаем = + = + .

6) Таким образом, = ∙ .  Так как = , получаем решение заданного уравнения = ∙ .

Ответ. = · , .

Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли.