Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальные уравнения семейства кривых

Пусть задано семейство кривых: , где  - параметр. Необходимо составить дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство.

Общая схема решения этой задачи:

1) Равенство  определяет неявную функцию . Тогда на некотором промежутке справедливо тождество: . Дифференцируя это тождество по переменной , получим: = = =0.

2) Запишем систему  Исключив параметр  из этой системы, получим дифференциальное уравнение, решением которого является семейство кривых: .

Пример 1.1. Имеем семейство кривых: . Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.

Решение: 1) Считая, что выражение определяет неявную функцию , продифференцируем это выражение по независимой переменной . Имеем .

2) Запишем систему  Для исключения из системы параметра  умножим первое уравнение на и приравняем левые части первого и второго равенств. Получим дифференциальное уравнение , или , решением которого является заданное семейство кривых.   

Ответ. .

Задание 1.1. Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых.

Вар.	Семейство:	Вар.	Семейство:
1.1.1.	.	1.1.16.	.
1.1.2.	.	1.1.17.	.
1.1.3.	.	1.1.18.	.
1.1.4.	.	1.1.19.	.
1.1.5.	.	1.1.20.	.
1.1.6.	.	1.1.21.	.
1.1.7.	.	1.1.22.	.
1.1.8.	.	1.1.23.	.
1.1.9.	.	1.1.24.	.
1.1.10.	.	1.1.25.	.
1.1.11.	= .	1.1.26.	.
1.1.12.	.	1.1.27.	.
1.1.13.	.	1.1.28.	.
1.1.14.	.	1.1.29.	.
1.1.15.	.	1.1.30.	.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Известно, что в общем случае дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в виде:

                                                .                                      (1.1)

Для интегрирования уравнения переменные  и  должны быть разделены. Для этого требуется разделить равенство (1.1) на произведение . В результате получим:

.                                             (1.2)

Интегрируя (1.2), находим общее решение исходного уравнения (1.1) в виде выражения:                                                          .                                           

Для перехода к записи (1.2) выполнялось деление на функции:  и . Если возможны равенства  и , необходимо функции  и  учесть как решения исходного уравнения.

Пример 1.2. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. 1) Заданное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, где  и . Так как  и , то функции  и  необходимо учесть как решения исходного уравнения.

2) Теперь считаем, что . Разделив заданное уравнение на , получим уравнение  с разделенными переменными.

3) В результате интегрирования находим общее решение уравнения в виде  или . Учитывая, что  − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде . При =0 из общего решения получаем также решение .

Ответ. ; .

Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.2.1.		1.2.16.
1.2.2.		1.2.17.
1.2.3.		1.2.18.
1.2.4.		1.2.19.
1.2.5.		1.2.20.
1.2.6.		1.2.21.
1.2.7.		1.2.22.
1.2.8.		1.2.23.
1.2.9.		1.2.24.
1.2.10.		1.2.25.
1.2.11.		1.2.26.
1.2.12.		1.2.27.
1.2.13.		1.2.28.
1.2.14.		1.2.29.
1.2.15.		1.2.30.

Однородные дифференциальные уравнения

В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде:

                                                      ,                                            (1.3)

где функции  и  однородные функции одного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде .

Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть . Вычислим . Подставим  и  в уравнение (1.3):

.                        (1.4)

.                                   (1.4)

Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными  и , то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены , записываем решение исходного уравнения (1.3).

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение .

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае =  и =−  − однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены , то есть .

2) Используя , перепишем уравнение  – уравнение

2) Используя , перепишем уравнение  – уравнение с разделяющимися переменными  и . Для полученного уравнения выделим очевидные решения =0, то есть  и .

3) После этого запишем уравнение в виде = , которое легко интегрируется = , или , или . Учитывая, что  − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде .

4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения . При =0 из общего решения получаем также решение .

Ответ. ; =0.

Задание 1.3. Решить однородное уравнение.