Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Однородные дифференциальные уравненияСтр 1 из 6Следующая ⇒
Дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальные уравнения семейства кривых Пусть задано семейство кривых: , где - параметр. Необходимо составить дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство. Общая схема решения этой задачи: 1) Равенство определяет неявную функцию . Тогда на некотором промежутке справедливо тождество: . Дифференцируя это тождество по переменной , получим: = = =0. 2) Запишем систему Исключив параметр из этой системы, получим дифференциальное уравнение, решением которого является семейство кривых: . Пример 1.1. Имеем семейство кривых: . Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением. Решение: 1) Считая, что выражение определяет неявную функцию , продифференцируем это выражение по независимой переменной . Имеем . 2) Запишем систему Для исключения из системы параметра умножим первое уравнение на и приравняем левые части первого и второго равенств. Получим дифференциальное уравнение , или , решением которого является заданное семейство кривых. Ответ. . Задание 1.1. Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Известно, что в общем случае дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в виде: . (1.1) Для интегрирования уравнения переменные и должны быть разделены. Для этого требуется разделить равенство (1.1) на произведение . В результате получим: . (1.2) Интегрируя (1.2), находим общее решение исходного уравнения (1.1) в виде выражения: . Для перехода к записи (1.2) выполнялось деление на функции: и . Если возможны равенства и , необходимо функции и учесть как решения исходного уравнения. Пример 1.2. Решить дифференциальное уравнение . Решение. 1) Заданное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, где и . Так как и , то функции и необходимо учесть как решения исходного уравнения. 2) Теперь считаем, что . Разделив заданное уравнение на , получим уравнение с разделенными переменными. 3) В результате интегрирования находим общее решение уравнения в виде или . Учитывая, что − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде . При =0 из общего решения получаем также решение . Ответ. ; . Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде: , (1.3) где функции и однородные функции одного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде . Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть . Вычислим . Подставим и в уравнение (1.3): . (1.4) . (1.4) Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и , то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены , записываем решение исходного уравнения (1.3). Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение . Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение . Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае = и =− − однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены , то есть . 2) Используя , перепишем уравнение – уравнение 2) Используя , перепишем уравнение – уравнение с разделяющимися переменными и . Для полученного уравнения выделим очевидные решения =0, то есть и . 3) После этого запишем уравнение в виде = , которое легко интегрируется = , или , или . Учитывая, что − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде . 4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения . При =0 из общего решения получаем также решение . Ответ. ; =0. Задание 1.3. Решить однородное уравнение. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-29; просмотров: 205. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |