Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин

Теорема 3.Если  – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , то для любого e > 0

.

Доказательство. , следовательно математические ожидания конечны, а дисперсии ограничены, поэтому можно применить закон больших чисел в форме Чебышева, получим

.

Закон больших чисел в форме Бернулли

Теорема 4(Бернулли). Если m – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, p – вероятность успеха в одном испытании, то при n ® ¥, частость события сходится по вероятности к вероятности наступления события в одном испытании, т.е. для любого e>0

.

Доказательство. Представим , где Х_i – число успехов в i-м испытании. Легко посчитать, что , . Таким образом выполняются условия теоремы 3 и, следовательно

.