ЛЕКЦИЯ 13. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА, ФИШЕРА .ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Распределение Стьюдента (t-распределение)

 Пусть Х₀, Х₁, …,Х_n – независимы и Х_i ~ ~N(0;σ), σ>0,тогда случайная величина  имеет по определению t-распределение c n степенями свободы. Плотность распределения Стьюдента имеет вид

.                           

Если ν → ∞, то распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

График плотности распределения симметричен относительно прямой х = 0. По виду он напоминает нормальное распределение, но он более «пологий», с утяжеленными хвостами.

Обозначим F(x, σ) – функцию распределения случайной величины t_n. Если Х_i ~ N(0;σ), то случайные величины  также независимы и Y_i ~ N(0, 1). Тогда

.

Таким образом, t-распределение не зависит от параметра σ.

Аналогично предыдущему можно показать, что если X_i – независимы, и Х_i ~ N(a;σ), то распределение Стьюдента имеет также величина .

Если  Х_i ~ N(0, 1), i =1, …,n, то получим, что распределение Стьюдента имеет случайная величина , где имеет c²-распределение.

Распределение Стьюдента табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве средних).

Распределение Фишера(F-распределение)

 Пусть Х₀, Х₁, …, Х_n1, Х_n1+1, …, Х_n1+n2 – независимые нормально распределенные случайные величины Х_i ~ N(0;σ), i = 1,2, …, n₁+n₂. Тогда случайная величина  имеет распределение Фишера со степенями свободы n₁, n₂. Распределение Фишера также не зависит от параметра s, т.е.

.

Если X_i  – независимые и  Х_i ~ N(a;σ), то

 имеет распределение Фишера.

Положим s = 1, получим, что распределение Фишера имеет случайная величина

,

где – случайные величины, имеющие распределение .   

При больших n₁, n₂ распределение Фишера приближается к нормальному.

Распределение Фишера табулировано и используется в различных приложениях математической статистики (например, при проверке гипотезы о равенстве дисперсий).