Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Свойства среднеквадратического отклонения
1. . 2. . 3. Если X, Y – независимые случайные величины, то . 4. Определение 3. Случайная величина X называется нормированной (стандартизованной), если MX = 0, DX = 1. Определение 4. Преобразование случайной величины вида называется нормированием случайной величины. Убедимся в том, что случайная величина вида является нормированной . . Следует заметить, что f(X) – безразмерная величина, не зависит от масштаба измерения исходной случайной величины. Еще одной безразмерной характеристикой степени разброса случайной величины, не зависящей от масштаба измерения, является коэффициент вариации Vx
.
ЛЕКЦИЯ 15. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ОСНОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Пусть mn – число успехов в n испытаниях Бернулли. Представим mn в виде суммы , где Хi – число успехов в i-м испытании. Очевидно, что Хi принимает значения 0 или 1. Ранее было показано, что MXi = p. Найдем DXi, воспользовавшись формулой .
Далее в таблицах приведены распределения Хi и Хi2
Легко видеть, что MXi2 = 0+1p = p, тогда DXi = p – p2 = p(1-p) = pq.
Следовательно, Dmn = D . (1)
Нормальное распределение Пусть X имеет нормальное распределение. Раннее, в лекции 11 (пример 2) было показано, что если , то Y ~ N(0,1). Отсюда , и тогда , поэтому найдем сначала DY. Следовательно DX = D(sY+a) = s2DY = s2, sx = s. (2)
Экспоненциальное распределение Плотность распределения имеет вид . Ранее мы показали, что. Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой . , тогда (3)
Распределение Пуассона
Как известно Ранее мы показали, что , воспользуемся формулой .
Следовательно, (4)
Равномерное распределение Известно, что . Ранее мы показали, что , воспользуемся формулой . , тогда . (5) Моменты случайной величины. Характеристики формы распределения Определение 1. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число, равное математическому ожиданию случайной величины Хк : , k = 1, 2, … Из этого определения следует, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом 1-го порядка, так как a1 = М(Х). Определение 2. Центральным моментом k-го порядка называется число, равное математическому ожиданию k-й степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания: . При k = 1, , ; при k = 2, . Теорема 1. Если многоугольник распределения дискретной случайной величины или плотность распределения непрерывной случайной величины симметричны относительно прямой х = MX, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю, т.е. m2к+1 = 0. Докажем это утверждение для непрерывной случайной величины. Доказательство. Последний интеграл в цепочке равенств равен 0, так как из условия задачи следует, что p(MX+t) – четная функция относительно t (p(MX+t) = p(MX-t)), а t2k+1 – нечетная функция. Так как плотности нормального и равномерного законов распределений симметричны относительно х = МХ, то все центральные моменты нечетного порядка равны 0. Теорема 2.Если X~N(a,s), то . Чем больше моментов случайной величины известно, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем. В теории вероятностей и математической статистике наиболее часто используются две числовые характеристики, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков. Это коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины. Определение 3. Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число b = . Коэффициент асимметрии является центральным и начальным моментом нормированной случайной величины Y, где . Справедливость этого утверждения следует из следующих соотношений: . Асимметрия случайной величины Х равна асимметрии случайной величины Y = αХ + β c точностью до знака α, . Это следует из того, что нормирование случайных величин aХ+ b и Х приводит к одной и той же случайной величине Y с точностью до знака
Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» графика расположена справа от центра группирования, то β(х) > 0; если же «длинная часть» графика расположена слева, то β(х) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0. В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» кривой плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью используется понятие эксцесса. Определение 4. Эксцессом случайной величины Х называется величина g = . Эксцесс случайной величины Х равен разности начального и центрального моментов 4-го порядка нормированной случайной величины и числа 3, т.е. . Покажем это: Эксцесс случайной величины Х равен эксцессу случайной величины
Y = αХ + β.
Найдем эксцесс нормальной случайной величины Х. Если Х~N(a,s), то ~ (0,1). Тогда
Таким образом, эксцесс нормально распределенной случайной величины равен 0. Если плотность распределения одномодальна и более «островершинна», чем плотность нормального распределения с той же дисперсией, то g(Х) > 0, если при тех же условиях менее «островершинна», то g(Х) < 0. |
||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-27; просмотров: 182. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |