Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения (или плотность распределения) дает полную информацию о случайной величине. Однако часто бывает достаточно знать одну или несколько числовых характеристик случайной величины, которые давали бы менее полное, но более наглядное представление о случайной величине. В большинстве случаев достаточно знать некоторое «среднее» число, вокруг которого группируются все значения случайной величины (центральную тенденцию случайной величины), и ту или иную характеристику вариации значений случайной величины (степень рассеивания).

Основной наиболее употребляемой характеристикой центральной тенденции является математическое ожидание МХ случайной величины.

Определений 1. Пусть Х – дискретная случайная величина, , , тогда

                                            ,                                                (1)

если ряд сходится абсолютно.

Определений 2.Пусть Х – непрерывная случайная величина, p(x) – плотность распределения, тогда  

                                       ,                                                      (2)

если интеграл сходится абсолютно.

Найдем математические ожидания случайных величин некоторых известных законов распределения.

1. Пусть Х имеет пуассоновское распределениес параметром l.

, l>0, m = 0, 1, 2,…

По формуле (1) имеем . Следовательно,                                   

                                                         МХ = l.                                               (3)

2. Пусть Х имеет экспоненциальное распределение с параметром l,

.

По формуле (2) имеем

.

Следовательно

                                                      МХ = .                                                    (4)

Пусть Х имеет равномерное распределение на интервале [a,b]

.

Тогда по формуле (2) имеем

Следовательно

МХ = .                                                   (5)

Определим некоторые операции над дискретными случайными величинами.

Произведением сХ случайной величины Х на постоянную величину с называется случайная величина, которая принимает значения сх_i с теми же вероятностями р_i.

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i + y_j (x_i – y_j x_iy_j) с вероятностями p_ij, того, что случайная величина Х примет х_i, а Y – значения y_j (i = 1,2, …, n; j = 1,2, …, m)

p_ij  = P[(X = x_i), (Y = y_j)].

Если случайные величины X и Y независимы, т.е. независимы любые события Х = х_i, Y = y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем

p_ij  = P[(X = x_i),(Y = y_j)] = p_ip_j.

Теорема 1. Если Y = φ(X) – функция непрерывного случайного аргумента Х, возможные значения которого принадлежат всей оси ОХ, а р(х) – плотность распределения Х, то

,

если интеграл сходится абсолютно.

Эта теорема справедлива и для конечного отрезка возможных значений Х.

Теорема 2. Пусть Х – дискретная случайная величина принимающая значения х₁, х₂, …, х_n, Р(Х = х_i) = p_i, φ(х) – некоторая функция, тогда

,

если ряд сходится абсолютно.