Плотность вероятностей двумерной случайной величины

Определение.Двумерная случайная величина (X,У) называется непрерывной, если ее функция распределения F{x,y) — непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная F (x,y).

Аналогично одномерному случаю вероятность пары отдельно взятых значений двумерной непрерывной случайной величины равна нулю, т.е. P(X = x₁,Y = y₁) = 0. Это вытекает непосредственно из формулы (8) при x₂®x₁, y₂®y₁ с учетом непрерывности функции распределения F(x,y).

Для двумерной случайной величины, как и для одномерной, вводится понятие плотности вероятности.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник со сторонами x и y, т.е.

R = P[x £ X < x + x, y £ Y < y + y].

Полагая в формуле (8) x₁ = x, x₂ = x + x , y₁ = y, y₂ = y + y, получим, что эта вероятность

    R = [F(x + x, y + y) – F(x,  y + y)] – [F(x + x, y) - F(x, y)].         (9)                       

Средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна отношению вероятности Р к площади прямоугольника x y, т.е.

                                               (10)

Будем неограниченно уменьшать стороны прямоугольника, т.е. x®0, y®0. Тогда, учитывая (9), найдем

= .       (11)

Так как функция F(x, y) непрерывна и дифференцируема по каждому аргументу, то выражение (11) примет вид

                  (12)

Определение. Плотностью вероятностей (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины (X, У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

                                                              (13)

Геометрически плотность вероятностей двумерной случайной величины (X, Y)представляет собой поверхность распределения впространстве Oxyz (рис. 3).

Рис. 3