Інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

де  Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:

 де m — частота події А у n випробуваннях.

18.Вибірковий метод. Генеральна сукупність елементів. Вибірки та їх види в залежності від методів вибирання елементів. Вибірка властиво випадкова повторна і схема "неповернених куль". Незсуненість, ефективність та обгрунтованість як головні вимоги довибіркованих оцінок обраного параметра ознаки. Точкові вибіркові оцінки параметра. Довірчий інтервал вибіркової оцінки параметра. Оцінки якісних вибіркових ознак. Три типа задач вибіркового методу.  Генеральною сукупністю в математичній статистиці називається множина однотипних об’єктів, кількісна чи якісна ознака яких підлягає вивченню. Підмножина об’єктів, дібраних у відповідний спосіб із генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю. Вважаємо, що ознака, яка вивчається, є випадковою величиною Х із функцією розподілу  Результати вибірки розглядатимемо як послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин  Закон розподілу для всіх  визначається функцією  Результати вибірки — реалізації випадкових величин — позначатимемо відповідно через  Розмістивши ці числа в порядку зростання і записавши частоти  з якими зустрічаються ці значення, дістанемо варіаційний, або статистичний, ряд:

На підставі такого ряду можна побудувати статистичну функцію розподілу  Якщо , то статистична функція розподілу збігається д теоретичної функції розподілу.

Точкові та інтервальні статистичні оцінки Статистична оцінка  яка визначається одним числом, точкою, називається точковою. Беручи до уваги, що  є випадковою величиною, точкова статистична оцінка може бути зміщеною і незміщеною: коли математичне сподівання цієї оцінки точно дорівнює оцінювальному параметру θ, а саме: (1) то  називається незміщеною; в противному разі, тобто коли  точкова статистична оцінка  називається зміщеною відносно параметра генеральної сукупності θ. Різниця  (3) називається зміщенням статистичної оцінки  Оцінювальний параметр може мати кілька точкових незміщених статистичних оцінок Точкова статистична оцінка називається ефективною, коли при заданому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію. Отже, оцінка  буде незміщеною й ефективною.

                   Точкова статистична оцінка називається ґрунтовною, якщо у разі необмеженого збільшення обсягу вибірки  наближається до оцінювального параметра θ, а саме:   Точкові статистичні оцінки  є випадковими величинами, а тому наближена заміна θ на  часто призводить до істотних похибок, особливо коли обсяг вибірки малий. У цьому разі застосовують інтервальні статистичні оцінки. Статистична оцінка, що визначається двома числами, кінцями інтервалів, називається інтервальною.                  Різниця між статистичною оцінкою  та її оцінювальним параметром θ, взята за абсолютним значенням, називається точністю оцінки, а саме:  (04) де δ є точністю оцінки.        Оскільки  є випадковою величиною, то і δ буде випадковою, тому нерівність (04) справджуватиметься з певною ймовірністю.

 Довірчий інтервал для лінії регресії

Ураховуючи те, що  і  є випадковими величинами, то і лінійна функція регресії  буде випадковою. Позначимо через  значення ознаки Y, обчислимо за формулою

.                                                                                    

Тоді

.

Звідси дістали:

або

.Випадкова величина

має t-розподіл із  ступенями свободи. Ураховуючи можна побудувати довірчий інтервал для лінійної парної функції регресії із заданою надійністю γ, а саме:

.                                                        

випливає

19.Перевірка правельності нульової гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності Для перевірки правильності Н₀ задається так званий рівень значущості a.

a — це мала ймовірність, якою наперед задаються. Вона може набувати значення a = 0,005; 0,01; 0,001. В основу перевірки Н₀ покладено принцип , тобто ймовірність того, що статистичний критерій потрапляє в критичну область , дорівнює малій імовірності a. Якщо ж виявиться, що  а ця подія малоймовірна і все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу. Пропонується такий алгоритм перевірки правильності Н₀:

1. Сформулювати Н₀ й одночасно альтернативну гіпотезу Н_a.

2. Вибрати статистичний критерій, який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі.

3. Залежно від змісту нульової та альтернативної гіпотез будується правобічна, лівобічна або двобічна критична область, а саме: нехай , тоді, якщо

, то вибирається правобічна критична область, якщо

, то вибирається лівобічна критична область і коли

, то вибирається двобічна критична область.

4. Для побудови критичної області (лівобічної, правобічної чи двобічної) необхідно знайти критичні точки. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості a знаходяться критичні точки.

5. За результатами вибірки обчислюється спостережуване значення критерію .

6. Відхиляють чи приймають нульову гіпотезу на підставі таких міркувань: у разі, коли , а це є малоймовірною випадковою подією,  і, незважаючи на це, вона відбулася, то в цьому разі Н₀ відхиляється: для лівобічної критичної області ; для правобічної критичної області

для двобічної критичної області  

або , ураховуючи ту обставину, що критичні точки  і  симетрич­но розташовані відносно нуля.

Критерій узгодженості Пірсона.Критерій узгодженості Пірсона є випадковою величиною, що має розподіл , який визначається за формулою і має k = q – m – 1 ступенів свободи, де q — число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки; m — число параметрів, якими визначається закон розподілу ймовірностей генеральної сукупності згідно з нульовою гіпотезою. Так, наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром l, m = 1, для нормального закону m = 2, оскільки цей закон визначається двома параметрами  i s. Якщо  (усі емпіричні частоти збігаються з теоретичними), то , у противному разі . Визначивши при заданому рівні значущості a і числу ступенів свободи критичну точку , за таблицею (додаток 8) будується правобічна критична область. Якщо виявиться, що спостережуване значення критерію , то Н₀ про закон розподілу ознаки генеральної сукупності відхиляється. У противному разі  Н₀ приймається.

20.Функція розподілу  системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій:  Геометрично функцію розподілу можна інтерпретувати як імовірність потрапляння випадкової точки в нескінченний прямокутник із вершиною  обмежений згори і праворуч

Функція розподілу має такі властивості:

 — неспадна функція х і y;

Функції  визначають закони розподілу для випадкових величин які входять до системи.

За допомогою функції розподілу можна подати ймовірність потрапляння випадкової точки у прямокутник, сторони якого паралельні осям координат:

Якщо розглядається система неперервних випадкових вели-чин, то для неї визначається щільність розподілу  При цьому  має такі властивості:

1)

2)

Імовірність потрапляння випадкової точки  у довільну область D подається формулою:

Функція розподілу системи двох випадкових величин виражається через щільність розподілу:

Скориставшись властивостями функції розподілу системи неперервних величин, можна знайти щільності розподілу величин, які входять до цієї систем

21. Кореляційний момент. Коефіцієт кореляції та його властивості

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, кореляція (або коефіцієнт кореляції) є мірою залежності двох випадкових величин. При цьому, зміна однієї або кількох цих величин призводить до систематичної зміни іншої або інших величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин слугує коефіцієнт кореляції.

Кореляція може бути позитивною та негативною (можлива також ситуація відсутності статистичного зв’язку - наприклад, для незалежних випадкових величин). Від’ємна кореляція – кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов’язане зі зменшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції від’ємний. Додатна кореляція – кореляція, при якій збільшення однієї змінної пов’язане зі збільшенням іншої, при цьому коефіцієнт кореляції додатній.

Нехай та — випадкові величини з математичним сподіванням μX та μY. Їх коефіцієнт кореляції позначається як і дорівнює:

де: — коваріація величин Х та ,У

σX,σY — стандартне відхилення величин Х та У .

Властивості

Якщо X та Y — незалежні, то коефіцієнт кореляції p(X Y) дорівнює 0. Зворотнє твердження невірне. Коефіцієнт кореляції може дорівнювати 0 навіть якщо Y є функцією від X.

Завжди виконується нерівність:

.

Причому    , тоді і лише тоді, коли , де a та b — сталі.

22.функції одного випадкового аргументу Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х: Y = φ(X).                                                                                                            Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента

1) Пусть аргумент Х – дискретная случайная величина, причем различным значениям Х соот-ветствуют различные значения Y. Тогда вероятности соответствующих значений Х и Y равны.

2) Если разным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются.

3) Если Х – непрерывная случайная величина, Y = φ(X), φ(x) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ(у) – функция, обратная к φ(х), то плотность распределения g(y) случайно функции Y равна: 

23. Функціональна, статистична та кореляційна залежності. Теорія лінійної кореляції. Основні положення кореляційного аналізу. Парна регресійна модель. Множинний регресійний аналіз Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв’язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

За наявності кореляційного зв’язку між змінними необхідно виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме: ;           

;                                                                                                                                                                              

Наведені можливі залежності між змінними X і Y називають функціями регресії. Форму зв’язку між змінними X і Y можна встановити, застосовуючи кореляційні поля, які зображені на рисунках

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (Х, Y) поняття статистичної залежності між ознаками Х та Y має таке визначення:

статистичною залежністю Х від Y називають таку, за якої при зміні значень ознаки Y = y_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Х, статистичною залежністю ознаки Y від Х називають таку, за якої зі зміною значень ознаки X = x_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y.

Між ознаками Х та Y може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та Y, то обов’язково між ними існуватиме і статистична залежність