Рівномірний закон розподілу

Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу:

Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:

14. . Показниковий закон розподілу

. .

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:

Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:

Ме=ln2/a.

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість – відсутність післядії, а саме: якщо пов”язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість закону використовують у харківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.

15. Закон великих чисел, центральна гранична теорема.

Центральна гранична теорема.

Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:

Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

(2)

тобто граничним розподілом для  є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

де  Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:

 де m — частота події А у n випробуваннях.

Нерівності Чебишова.

Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то

Друга форма: якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то

Нехай задано послідовність випадкових величин:

Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо

Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність (1).

Теорема Бернуллі. Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р. Тоді

де  — частота події А у даних випробуваннях.

Теорема Чебишова

Нехай  послідовність незалежних випадкових величин ,які задовольняють умовам:

1.M(X_і)>= a_і

2.D(X_і )<= с Для всіх і=1,2,3…..n

Якщо випадкові величини у послідовності  незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням .

Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема

Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність  , існують моменти третього порядку і виконується умова

 то для  виконується співвідношен-
ня (2).

16. Центральна гранична теорема. Для послідовності випадкових величин  розглянемо:

Теорема. Якщо випадкові величини в послідовності незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

тобто граничним розподілом для  є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.