Дискретні випадкові величини - ДВВ. Закони розподілу ймовірностей для ДВВ. дії над ДВВ

Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

Властивості: Ймовірність повинна бути невід’ємна; ймовірність вірогідної події дорівнює 1; ймовірність попарно несумісних подій дорувнює сумі ймовірностей цих подій; ймовірність події, протилежної данній дорівнює різниці 1 та ймовірності цієї події; ймовірність номожнивої події дорівнює нулю; ймовірність суми двох довільний подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добітку; ймовірність події А, яка спричинює подію В, не більша за ймовірність події В і ймовірність різниці В-А дорівнює різниці ймовірностей В та А; ймовірність будь-якої події може набувати значень від 0 до 1. Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді: а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C); б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C/B).

Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї

Теорема: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі іморвіностей цих подій, тобто

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) Сумою подій А і В називає подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування або подій А, або події В, або обох разом. Суми 2-ох подій позначають С=А+В, або С=АВ. Доведення: Нехай в результатів деякого випробування відбувається n елементарних подій. Зобразимо ці події n точками: Нехай з усіх n подій подія А сприяють m подій, а події В – h подій. Тоді імовірність події А є Р(А). Оскільки події А і В несумісні, то немає подій. Які б одночасно сприяли обом подіям А і В. Очевидно, що події А +В сприяють m+Р подій. Тому Р(А+В) . Підставляючи значення Р(А), Р(В), Р(А+В) у рівність (1), дістанемо тотожність, що і доводить теорему. Р(А1+А2+...+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn) З теореми додавання випливають два наслідки. Сума імовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, = 1. Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.

Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто Р(А) + Р(В)=1

Довести теореми (формула повної ймовірності та формули Байеса)

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій  (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою

де  — імовірність події  — умовні ймовірності настання події А. Наведена залежність називається формулою повної ймовірності. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій  Відомі ймовірності подій  та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез  Для цього застосовують формулу Баєса:

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція  яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.

Якщо  то  або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то  Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок  сполучивши точки відрізками прямих, дістане­мо многокутник розподілу ймовірностей).