Правильные многогранники и их элементы. Теорема Эйлера. 

Многогранник называется правильным если он выпуклый,все его грани равные между собой правильные n- угольники и в каждой вершине сходится одно и тоже количество ребер.

Все многогранные углы правильного многограника равны между собой, и все двугранные углы так же равны между собой. Существует пять различных правильных многогранников: правильный четырехгранник (тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр), правильный двадцатигранник (икосаэдр).

Тетраэдр — четыре грани — равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер

Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер

Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

Теорема Эйлера

Число вершин многограника минус число ребер плюс число граней равно 2

Площади поверхностей многогранников. 

Параллепипед

S_п.п.=2(ab+bc+ac)- для прямого параллепипеда, где а,b,c–длина ребер параллепипеда

Куб

S_п.п.=6a­², где а- ребро куба

Призма

S_п.п.=2 S_осн. + S_{бок.пов.} – площадь полной поверхностти призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоиной площади её основания.

Для прямой призмы

S_{бок.пов.}=P_осн.h - площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению её высоты на периметр основания

Для наклонной призмы

S_{бок.пов.}= P_{перпенд.сеч.}l - площадь боковой поверхности для наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину боковога ребра

Пирамида

S_п.п.=S_осн. + S_{бок.пов.} – площадь полной поверхностти пирамиды равна сумме площади её боковой поверхности и площади её основания.

Для правильной пирамиды

S_{бок.пов.}=pl – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания на апофему.

В пирамиде у которой все двугранные углы при основании равны, площадь боковой поверхности равна делению площади основания на сos двугранного угла при основании: S_{бок.пов.}=S_осн./cosα

Для усеченной пирамиды

S_{бок.пов.}=(p₁+p₂) l–площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы полупериметров ее оснований на апофему.