Использование ограниченности функции

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует число C такое, что для любого  выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что для любого  выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D.

Пример Решите уравнение

    sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2.    (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x³ + 2х² + 1) ≤ 1, х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При , , т.е. при  уравнение (4) так же корней не имеет .

Ответ: Ø.

Использование четности функции

Функция f (x) называется четной, если для любого  выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = f (x).

График четной функции на всей области определения симметричен относительно оси OY.

Функция f (x) называется нечетной, если для любого выполняются равенства:

1) ,

2) f (–x) = –f (x).

Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат.

Пример Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

иметь 5 корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

Интеграция различных разделов школьного курса математики при решении неравенств.