Расстояние от точки до прямой

Вычисление углов в пространстве. Углы между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы. Углы между плоскостями.

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Угол между прямой и плоскостью

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.

Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

Двугранным угломназывается фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол,называются его гранями, а общая прямая этих плоскостей –ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Все пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов:

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Векторно-координатный метод решения. Векторно–координатный метод определения угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями.

Понятие о скалярном произведении позволяет определять углы между прямыми в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые с направляющими векторами  и Пусть угол между этими прямыми равен φ. Тогда угол между векторами может быть равен φ или 180° – φ в зависимости от того, как направлены эти вектора. Однако в любом случае модуль скалярного произведения этих векторов равен

Отсюда следует, что . Значит угол между двумя прямыми может быть найден через координаты направляющих векторов так

Угол между прямой и плоскостью

Поскольку угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, сведем данную задачу к предыдущей. Заметим, что угол между направляющим вектором рассматриваемой прямой и нормальным вектором равен .

Если плоскость задана уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, тогда вектор нормали имеет координаты (А,В,С).

Угол между двумя плоскостями

Найдем, угол между двумя плоскостями. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Вычисление расстояний в пространстве. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние от точки до прямой

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от дочки до прямой.